Каталог по темам

Задачи

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 92]

Задача 64613

Темы:	[	Многочлены (прочее)	]
	[	Производная (прочее)	]
	[	Средние величины	]
	[	Теорема Виета	]
	[	Неравенство Коши	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Автор: Мурашкин М.В.

Многочлен степени n > 1 имеет n разных корней х₁, х₂, ..., х_n. Его производная имеет корни y₁, y₂, ..., y_n–1.
Докажите неравенство

Прислать комментарий

Решение

Задача 65480

Темы:	[	Тригонометрические уравнения	]
Темы:	[	Возрастание и убывание. Исследование функций	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Решите уравнение 2 sin ^πx/₂ – 2 cos πx = x⁵ + 10x – 54.

Прислать комментарий

Решение

Задача 35154

Темы:	[	Свойства коэффициентов многочлена	]
	[	Вычисление производной	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Докажите, что при умножении многочлена (x + 1)^n–1 на любой многочлен, отличный от нуля, получается многочлен, имеющий не менее n отличных от нуля коэффициентов.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61135

Темы:	[	Алгебраические уравнения в C. Извлечение корня	]
	[	Производная (прочее)	]
	[	Геометрия комплексной плоскости	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Пусть f(x) = (x – a)(x – b)(x – c) – многочлен третьей степени с комплексными корнями a, b, c.
Докажите, что корни производной этого многочлена лежат внутри треугольника с вершинами в точках a, b, c.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61136

[Теорема Гаусса-Люка]

Темы:	[	Алгебраические уравнения в C. Извлечение корня	]
	[	Производная (прочее)	]
	[	Геометрия комплексной плоскости	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Пусть f(x) – многочлен степени n с корнями α₁, ..., α_n. Определим многоугольник M как выпуклую оболочку точек α₁, ..., α_n на комплексной плоскости. Докажите, что корни производной этого многочлена лежат внутри многоугольника M.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 92]