Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Тема: Все темы >> Геометрия >> Планиметрия >> Треугольники >> Частные случаи треугольников >> Прямоугольные треугольники >> Прямоугольные треугольники (прочее)
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 20 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Ира, Наташа, Алеша и Витя собирали грибы. Наташа собрала больше всех, Ира не меньше всех, а Алеша – больше, чем Витя.
Верно ли, что девочки собрали грибов больше, чем мальчики?

Вниз   Решение

Автор: Фольклор

Посёлок построен в виде квадрата 3 квартала на 3 квартала (кварталы – квадраты со стороной b, всего 9 кварталов). Какой наименьший путь должен пройти асфальтоукладчик, чтобы заасфальтировать все улицы, если он начинает и кончает свой путь в угловой точке A? (Стороны квадрата – тоже улицы).

ВверхВниз   Решение

В правильной пирамиде SMNPQ ( S – вершина) точки H и F – середины рёбер MN и NP соответственно, точка E лежит на отрезке SH , причём SH = 3 , SE = . Расстояние от точки S до прямой EF равно . Найдите объём пирамиды. Дана сфера радиуса 1 с центром в точке S . Рассматриваются всевозможные правильные тетраэдры ABCD такие, что точки C и D лежат на прямой EF , а прямая AB касается сферы в одной из точек отрезка AB . Найдите наименьшее значение длины ребра рассматриваемых тетраэдров.

ВверхВниз   Решение

В кубе ABCDA1B1C1D1 , где AA1 , BB1 , CC1 и DD1 – параллельные рёбра, плоскость P проходит через точку D и середины рёбер A1D1 и C1D1 . Найдите расстояние от середины ребра AA1 до плоскости P , если ребро куба равно 2.

ВверхВниз   Решение

Две высоты треугольника равны. Докажите, что треугольник равнобедренный.

ВверхВниз   Решение

Докажите равенство треугольников по стороне и высотам, опущенным на две другие стороны.

ВверхВниз   Решение

Автор: Бакаев Е.В.

Даны N прямоугольных треугольников. У каждого выбрали по одному катету и нашли сумму их длин, затем нашли сумму длин оставшихся катетов и, наконец, нашли сумму длин всех гипотенуз. Оказалось, что три найденных числа являются длинами сторон некоторого прямоугольного треугольника. Докажите, что у всех исходных треугольников одно и то же отношение большего катета к меньшему, если
  а)  N = 2;
  б)  N – любое натуральное число, большее 1.

ВверхВниз   Решение

Окружность с центром в точке пересечения диагоналей AC и BC равнобедренной трапеции ABCD касается меньшего основания BC и боковой стороны AB. Найдите площадь трапеции ABCD, если известно, что её высота равна 16, а радиус окружности равен 3.

ВверхВниз   Решение

Найдите цифры a и b, для которых   = 0,bbbbb...

ВверхВниз   Решение

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки, равные a и b. Найдите катеты.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что в прямоугольной трапеции разность квадратов диагоналей равна разности квадратов оснований.

ВверхВниз   Решение

Представьте следующие рациональные числа в виде десятичных дробей:
  а) 1/7;   б) 2/7;   в) 1/14;   г) 1/17.

ВверхВниз   Решение

Автор: Френкин Б.Р.

Дан выпуклый 100-угольник. Докажите, что можно отметить такие 50 точек внутри этого многоугольника, что каждая вершина будет лежать на прямой, проходящей через какие-то две из отмеченных точек.

ВверхВниз   Решение

Последовательность чисел a1, a2, a3,...задается условиями

a1 = 1,        an + 1 = an + $\displaystyle {\dfrac{1}{a_n^2}}$        (n $\displaystyle \geqslant$ 0).

Докажите, что
а) эта последовательность неограничена;
б) a9000 > 30;
в) найдите предел $ \lim\limits_{n\to\infty}^{}$$ {\dfrac{a_n}{\sqrt[3]n}}$.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что:
а)  a = r(ctg($ \beta$/2) + ctg($ \gamma$/2)) = r cos($ \alpha$/2)/(sin($ \beta$/2)sin($ \gamma$/2));
б)  a = ra(tg($ \beta$/2) + tg($ \gamma$/2)) = racos($ \alpha$/2)/(cos($ \beta$/2)cos($ \gamma$/2));
в)  p - b = rctg($ \beta$/2) = ratg($ \gamma$/2);
г)  p = ractg($ \alpha$/2).

ВверхВниз   Решение

Автор: Михайлов И.

Прямая $\ell$, параллельная стороне $BC$ треугольника $ABC$, касается его вписанной окружности и пересекает его описанную окружность в точках $D$ и $E$. Пусть $I$ – центр вписанной окружности треугольника $ABC$. Докажите, что $AI^2 = AD\cdot AE$.

ВверхВниз   Решение

На продолжениях гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC за точки A и B соответственно взяты точки K и M, причём  AK = AC  и  BM = BC.  Найдите угол MCK.

ВверхВниз   Решение

В график функции, симметричной относительно оси ординат, вписана "ёлочка" высотой 1. Известно, что "ветки" ёлочки составляют угол 450 с вертикалью. Найдите периметр ёлочки (т.е. сумму длин всех зеленых отрезков).

ВверхВниз   Решение

Автор: Шаповалов А.В.

Для какого наибольшего n можно выбрать на поверхности куба n точек так, чтобы не все они лежали в одной грани куба и при этом были вершинами правильного (плоского) n-угольника.

ВверхВниз   Решение

Автор: Швецов Д.В.

На гипотенузе AC прямоугольного треугольника ABC отметили точку такую C1, что  BC = CC1.  Затем на катете AB отметили такую точку C2, что
AC2 = AC1;  аналогично определяется точка A2. Найдите угол AMC, где M – середина отрезка A2C2.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 112]      

  с решениями  

Задача 64742

Темы:   [ Прямоугольные треугольники (прочее) ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Теорема Паскаля ]
[ Формула Эйлера ]
[ Длины сторон, высот, медиан и биссектрис ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Заславский А.А.

Пусть O, I – центры описанной и вписанной окружностей прямоугольного треугольника; R, r – радиусы этих окружностей; J – точка, симметричная вершине прямого угла относительно I. Найдите OJ.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64841

Темы:   [ Прямоугольные треугольники (прочее) ]
[ Неравенство треугольника (прочее) ]
[ Подобные треугольники (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Бакаев Е.В.

Даны N прямоугольных треугольников. У каждого выбрали по одному катету и нашли сумму их длин, затем нашли сумму длин оставшихся катетов и, наконец, нашли сумму длин всех гипотенуз. Оказалось, что три найденных числа являются длинами сторон некоторого прямоугольного треугольника. Докажите, что у всех исходных треугольников одно и то же отношение большего катета к меньшему, если
  а)  N = 2;
  б)  N – любое натуральное число, большее 1.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64844

Темы:   [ Прямоугольные треугольники (прочее) ]
[ Неравенство треугольника (прочее) ]
[ Подобные треугольники (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Автор: Бакаев Е.В.

Даны N прямоугольных треугольников  (N > 1).  У каждого выбрали по одному катету и нашли сумму их длин, затем нашли сумму длин оставшихся катетов и, наконец, нашли сумму длин всех гипотенуз. Оказалось, что три найденных числа являются длинами сторон некоторого прямоугольного треугольника. Докажите, что все исходные треугольники подобны.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64850

Темы:   [ Прямоугольные треугольники (прочее) ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Биссектриса угла (ГМТ) ]
[ Поворот помогает решить задачу ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Бакаев Е.В.

Внутри прямоугольного треугольника построили две равные окружности так, что первая касается одного из катетов и гипотенузы, вторая касается другого катета и гипотенузы, а ещё эти окружности касаются друг друга. Пусть M и N – точки касания окружностей с гипотенузой. Докажите, что середина отрезка MN лежит на биссектрисе прямого угла треугольника.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64908

Темы:   [ Прямоугольные треугольники (прочее) ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Композиции симметрий ]
[ Углы между биссектрисами ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

Автор: Швецов Д.В.

На гипотенузе AC прямоугольного треугольника ABC отметили точку такую C1, что  BC = CC1.  Затем на катете AB отметили такую точку C2, что
AC2 = AC1;  аналогично определяется точка A2. Найдите угол AMC, где M – середина отрезка A2C2.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 112]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .