Можно ли вписать октаэдр в куб так, чтобы вершины октаэдра находились на рёбрах куба?

   Решение

Докажите, что  cos²(/2) = p(p - a)/bc и  sin²(/2) = (p - b)(p - c)/bc.

   Решение

Дано n окружностей: O₁, O₂,...O_n, проходящих через одну точку O. Вторые точки пересечения O₁ с O₂, O₂ с O₃,..., O₃ с O₁ обозначим соответственно через A₁, A₂,..., A_n. На O₁ берем произвольную точку B₁. Если B₁ не совпадает с A₁, то проводим через B₁ и A₁ прямую до второго пересечения с O₂ в точке B₂. Если B₂ не совпадает с A₂, то проводим через B₂ и A₂ прямую до второго пересечения с O₃ в точке B₃. Продолжая таким образом, мы получим точку B_n на окружности O_n. Если O_n не совпадает с A_n, то проводим через B_n и A_n прямую до второго пересечения с O₁ в точке B_{n + 1}. Докажите, что B_{n + 1} совпадает с B₁.

   Решение

В треугольнике ABC, площадь которого равна S, проведены биссектриса CE и медиана BD, пересекающиеся в точке O. Найдите площадь четырёхугольника ADOE, зная, что BC = a, AC = b.

   Решение

В треугольнике ABC из вершины A проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке D, находящейся между точками B и C, причём = ( < ). На стороне BC между точками B и D взята точка E и через неё проведена прямая, параллельная стороне AC и пересекающая сторону AB в точке F. Найдите отношение площадей трапеции ACEF и треугольника ADC, если известно, что CD = DE.

   Решение

В треугольнике ABC из вершины A проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке D, лежащей между точками B и C, причём BD : BC = ( < 1). Через точку D проведена прямая, параллельная стороне AB и пересекающая сторону AC в точке E. Найдите отношение площадей треугольников ABD и ECD.

   Решение

В правильной треугольной пирамиде SABC ( S – вершина, SA = 4 ) точка D лежит на ребре SC , CD = 3 , а расстояние от точки A до прямой BD равно 2. Найдите объём пирамиды. Дана сфера радиуса 1 с центром в точке A . Рассматриваются всевозможные правильные тетраэдры MNPQ такие, что точки M и N лежат на прямой BD , а прямая PQ касается сферы в одной из точек отрезка PQ . Найдите наименьшее значение длины ребра рассматриваемых тетраэдров.

   Решение

Окружность с центром в точке пересечения диагоналей KM и LN равнобедренной трапеции KLMN касается меньшего основания LM и боковой стороны MN. Найдите периметр трапеции KLMN, если известно, что её высота равна 36, а радиус окружности равен 11.

   Решение

Одна из сторон параллелограмма равна 10, а диагонали равны 20 и 24. Найдите косинус острого угла между диагоналями.

   Решение

Докажите, что дроби ¹⁰⁰⁰/₂₀₀₁ и ¹⁰⁰¹/₂₀₀₁ имеют равную длину периодов.

   Решение

В углах шахматной доски 3×3 стоят четыре коня: два белых (в соседних углах) и два чёрных.
Можно ли за несколько ходов поставить коней так, чтобы во всех соседних углах стояли кони различного цвета?

   Решение

Из середины каждой стороны остроугольного треугольника опущены перпендикуляры на две другие стороны. Докажите, что площадь ограниченного этими перпендикулярами шестиугольника равна половине площади треугольника.

   Решение

Даны N прямоугольных треугольников  (N > 1).  У каждого выбрали по одному катету и нашли сумму их длин, затем нашли сумму длин оставшихся катетов и, наконец, нашли сумму длин всех гипотенуз. Оказалось, что три найденных числа являются длинами сторон некоторого прямоугольного треугольника. Докажите, что все исходные треугольники подобны.

   Решение

На плоскости отметили все вершины правильного n-угольника, а также его центр. Затем нарисовали контур этого n-угольника, и центр соединили со всеми вершинами; в итоге n-угольник разбился на n треугольников. Вася записал в каждую отмеченную точку по числу (среди чисел могут быть равные). В каждый треугольник разбиения он записал в произвольном порядке три числа, стоящих в его вершинах; после этого он стёр числа в отмеченных точках. При каких n по тройкам чисел, записанным в треугольниках, Петя всегда сможет восстановить число в каждой отмеченной точке?

   Решение

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 508]      

Сколько сторон может иметь выпуклый многоугольник, у которого сумма тупых углов равна 3000°?

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что в любом описанном около окружности многоугольнике найдутся три стороны, из которых можно составить треугольник.

Прислать комментарий

Решение

Выпуклый пятиугольник ABCDE таков, что  AB || CD,  BC || AD,  AC || DE,  CE ⊥ BC.  Докажите, что EC – биссектриса угла BED.

Прислать комментарий

Решение

На плоскости отметили все вершины правильного n-угольника, а также его центр. Затем нарисовали контур этого n-угольника, и центр соединили со всеми вершинами; в итоге n-угольник разбился на n треугольников. Вася записал в каждую отмеченную точку по числу (среди чисел могут быть равные). В каждый треугольник разбиения он записал в произвольном порядке три числа, стоящих в его вершинах; после этого он стёр числа в отмеченных точках. При каких n по тройкам чисел, записанным в треугольниках, Петя всегда сможет восстановить число в каждой отмеченной точке?

Прислать комментарий

Решение

Дан выпуклый 100-угольник. Докажите, что можно отметить такие 50 точек внутри этого многоугольника, что каждая вершина будет лежать на прямой, проходящей через какие-то две из отмеченных точек.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 508]