Каталог по темам

Выбрано 25 задач

В окружность радиуса R вписан шестиугольник ABCDEF. Известно, что $\angle$ A = $\angle$ C = $\angle$ E, AB = a, CD = b, EF = c. Найдите площадь шестиугольника ABCDEF.

Решение

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник ABC, если даны его вершины A и B, прямая l, на которой лежит вершина C, и разность углов $\angle$ A - $\angle$ B = $\varphi$ .

Решение

Точка D лежит на стороне BC равнобедренного треугольника ABC (AB = CB), причём CD = ${\frac{1}{4}}$ CB, $\angle$ ACB = arccos ${\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}$ , AD = ${\frac{3}{4}}$ . Найдите площадь треугольника ABC.

Решение

Потроить треугольник по $\angle$ A, высоте к стороне a h_a и полупериметру p.

Решение

Автор: Филипповский Г.Б.

Биссектриса угла $A$ треугольника $ABC$ при продолжении пересекает описанную около него окружность $\omega$ в точке $W$. Окружность $s$, построенная на отрезке $AH$ как на диаметре ($H$ – ортоцентр в треугольнике $ABC$), пересекает $\omega$ в точке $P$. Восстановите треугольник $ABC$, если остались точки $A$, $P$, $W$.

Решение

Автор: Розенблюм Г.В.

На бесконечном листе клетчатой бумаги N клеток окрашено в черный цвет. Докажите, что из этого листа можно вырезать конечное число квадратов так, что будут выполняться два условия: 1) все черные клетки лежат в вырезанных квадратах; 2) в любом вырезанном квадрате K площадь черных клеток составит не менее 1/5 и не более 4/5 площади K.

Решение

Число N записано в десятичной системе счисления N = . Докажите следующие признаки делимости:
а) N делится на 3 ⇔ a_n + a_n–1 + ... + a₁ + a₀ делится на 3;
б) N делится на 9 ⇔ a_n + a_n–1 + ... + a₁ + a₀ делится на 9;
в) N делится на 11 ⇔ (–1)ⁿa_n + (–1)^n–1a_n–1 + ... + a₁ + a₀ делится на 11.

Решение

Найдите сумму квадратов расстояний от точки M, взятой на диаметре некоторой окружности, до концов любой из параллельных этому диаметру хорд, если радиус окружности равен R, а расстояние от точки M до центра окружности равно a.

Решение

За дядькой Черномором выстроились чередой бесконечное число богатырей разного роста. Докажите, что он может приказать части из них выйти из строя так, чтобы в строю осталось бесконечное число богатырей и все они стояли по росту (в порядке возрастания или убывания).

Решение

Сформулируйте и докажите признак делимости на
а) делитель числа "основание системы счисления – 1" (аналогичный признаку делимости на 3).
б) "основание + 1" (аналогичный признаку делимости на 11).
в) делитель числа "основание + 1" (аналога нет!).

Решение

Автор: Бакаев Е.В.

Точку внутри выпуклого четырёхугольника соединили со всеми вершинами и с четырьмя точками на сторонах (по одной на стороне). Четырёхугольник оказался разделён на восемь треугольников с одинаковыми радиусами описанных окружностей. Докажите, что исходный четырёхугольник вписанный.

Решение

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, АС = а, BD = b, AB ⊥ CD. Найдите радиус окружности.

Решение

Четырёхугольник ABCD, диагонали которого взаимно перпендикулярны, вписан в окружность с центром O. Найдите расстояние от точки O до стороны AB, если CD = a.

Решение

В треугольнике ABC известны стороны: AB = 6, BC = 4, AC = 8. Биссектриса угла C пересекает сторону AB в точке D. Через точки A, D и C проведена окружность, пересекающая сторону BC в точке E. Найдите площадь треугольника ADE.

Решение

Стороны выпуклого многоугольника, периметр которого равен 12, отодвигаются на расстояние d = 1 во внешнюю сторону. Доказать, что площадь многоугольника увеличится по крайней мере на 15.

Решение

Построить треугольник ABC по трем точкам H₁, H₂ и H₃, которые являются симметричными отражениями точки пересечения высот искомого треугольника относительно его сторон.

Решение

Вычислите
a) (1 + i)ⁿ; б) в) г) д) (1 + cos φ + isin φ)ⁿ; е) ж)

Решение

Автор: Шаповалов А.В.

Последовательность натуральных чисел a₁, a₂, ..., a_n, ... такова, что для каждого n уравнение a_n+2x² + a_n+1x + a_n = 0 имеет действительный корень. Может ли число членов этой последовательности быть
а) равным 10;
б) бесконечным?

Решение

Одна из сторон вписанного четырёхугольника является диаметром окружности.
Докажите, что проекции сторон, прилегающих к этой стороне, на прямую, задающую четвёртую сторону, равны между собой.

Решение

Правильный треугольник ABC со стороной, равной 3, вписан в окружность. Точка D лежит на окружности, причём хорда AD равна $\sqrt{3}$ . Найдите хорды BD и CD.

Решение

Постройте треугольник ABC по центру описанной окружности O, точке пересечения медиан M и основанию H высоты CH.

Решение

В треугольнике ABC на сторонах AB, BC и AD взяты соответственно точки K, L и M. Известно, что AK = 5, KB = 3, BL = 2, LC = 7, CM = 1, MA = 6, Найдите расстояние от точки M до середины KL.

Решение

Четырёхугольник АВСD – вписанный. Лучи АВ и DС пересекаются в точке M, а лучи ВС и AD – в точке N. Известно, что ВМ = DN.
Докажите, что CM = CN.

Решение

Даны прямые l₁, l₂ и l₃, пересекающиеся в одной точке. С помощью циркуля и линейки постройте треугольник ABC, для которого данные прямые были бы серединными перпендикулярами к его сторонам.

Решение

На шкуре у Носорога складки – вертикальные и горизонтальные. Если у Носорога на левом боку a вертикальных, b горизонтальных складок, а на правом – c вертикальных и d горизонтальных, будем говорить, что это Носорог в состоянии (abcd) или просто Носорог (abcd).
Если Носорог чешется каким-то боком о баобаб вверх-вниз, и у Носорога на этом боку есть две горизонтальные складки, то эти две горизонтальные складки разглаживаются. Если двух таких складок нет, то ничего не происходит.
Аналогично если Носорог чешется боком вперед-назад, и на этом боку есть две вертикальные складки, то они разглаживаются, если же таких двух складок не найдётся, то ничего не происходит.
Если на каком-то боку две какие-то складки разглаживаются, то на другом боку немедленно появляется две новые складки: одна вертикальная и одна горизонтальная.
Носороги чешутся часто, случайным боком о случайные баобабы в случайных направлениях.

Вначале в саванне было стадо Носорогов (0221). Докажите, что через некоторое время в саванне появится Носорог (2021).

Решение

Задача 67320

Задача 109798

Задача 65320

Задача 65323

Задача 35619