Можно ли нарисовать правильный треугольник с вершинами в узлах квадратной сетки?

   Решение

Двое игроков играют в карточную игру. У них есть колода из n попарно различных карт. Про любые две карты из колоды известно, какая из них бьёт другую (при этом, если A бьёт B, а B бьёт C, то может оказаться, что C бьёт A). Колода распределена между игроками произвольным образом. На каждом ходу игроки открывают по верхней карте из своих колод, и тот, чья карта бьёт карту другого игрока, берёт обе карты и кладёт их в самый низ своей колоды в произвольном порядке по своему усмотрению. Докажите, что при любой исходной раздаче игроки могут, зная расположение карт, договориться и действовать так, чтобы один из игроков остался без карт.

   Решение

На сторонах AB, BC, CA треугольника ABC взяты такие точки A₁ и B₂, B₁ и C₂, C₁ и A₂, что отрезки A₁A₂, B₁B₂ и C₁C₂ параллельны сторонам треугольника и пересекаются в точке P. Докажите, что PA₁ ^. PA₂ + PB₁ ^. PB₂ + PC₁ ^. PC₂ = R² - OP², где O — центр описанной окружности.

   Решение

Пусть l (n) — наименьшее число умножений, необходимое для нахождения xⁿ. На примере чисел n = 15 и n = 63 покажите, что бинарный метод возведения в степень (смотри задачу 5.64) не всегда оптимален, то есть для некоторых n выполняется неравенство l (n) < b(n).

   Решение

Натуральные числа $a$ и $b$ таковы, что  $a^{n+1} + b^{n+1}$  делится на  $a^n+b^n$  для бесконечного множества различных натуральных $n$. Обязательно ли тогда  $a = b$?

   Решение

Андрей Михайлович выписал на доску все возможные последовательности длины $2022$, состоящие из 1011 нулей и 1011 единиц. Назовём две последовательности совместимыми, если они совпадают ровно в 4 позициях. Докажите, что Андрей Михайлович может разбить все последовательности на 20 групп так, чтобы никакие две совместимые последовательности не попали в одну группу.

   Решение

Все клетки верхнего ряда квадрата 14× 14 заполнены водой, а в одной клетке лежит мешок с песком (см. рис.). За один ход Вася может положить мешки с песком в любые 3 не занятые водой клетки, после чего вода заполняет каждую из тех клеток, которые граничат с водой (по стороне), если в этой клетке нет мешка с песком. Ходы продолжаются, пока вода может заполнять новые клетки. Как действовать Васе, чтобы в итоге вода заполнила как можно меньше клеток?

   Решение

В сегмент вписываются всевозможные пары пересекающихся окружностей, и для каждой пары через точки их пересечения проводится прямая. Докажите, что все эти прямые проходят через одну точку (см. задачу 3.44).

   Решение

Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке M. Окружность ω касается отрезка MA в точке P, отрезка MD в точке Q и описанной окружности Ω четырёхугольника ABCD в точке X. Докажите, что X лежит на радикальной оси описанных окружностей ω_Q и ω_P треугольников ACQ и BDP.

   Решение

Докажите, что  x⁴ + y⁴ + 8 ≥ 8xy  при любых x и y.

   Решение

Даны четыре попарно непараллельные прямые и точка O, не лежащая на этих прямых. Постройте параллелограмм с центром O и вершинами, лежащими на данных прямых, — по одной на каждой.

   Решение

Пусть  x = ab + bc + ca, x₁ = m_am_b + m_bm_c + m_cm_a. Докажите, что  9/20 < x₁/x < 5/4.

   Решение

Окружности ω₁ и ω₂ пересекаются в точках A и B. Точки K₁ и K₂ на ω₁ и ω₂ соответственно таковы, что K₁A касается ω₂, а K₂A касается ω₁. Описанная окружность треугольника K₁BK₂ пересекает вторично прямые AK₁ и AK₂ в точках L₁ и L₂ соответственно. Докажите, что точки L₁ и L₂ равноудалены от прямой AB.

   Решение

Через общую точку A окружностей S₁ и S₂ проведите прямую l так, чтобы разность длин хорд, высекаемых на l окружностями S₁ и S₂ имела заданную величину a.

   Решение

Существует ли такая бесконечная возрастающая последовательность a₁, a₂, a₃, ... натуральных чисел, что сумма любых двух различных членов последовательности взаимно проста с суммой любых трёх различных членов последовательности?

   Решение

Страница: << 40 41 42 43 44 45 46 >> [Всего задач: 276]      

Существуют ли три взаимно простых в совокупности натуральных числа, квадрат каждого из которых делится на сумму двух оставшихся?

Прислать комментарий

Решение

Рациональные числа x, y и z таковы, что все числа  x + y² + z²,  x² + y + z²  и  x² + y² + z  целые. Докажите, что число 2x целое.

Прислать комментарий

Решение

Дана таблица n×n клеток и такие натуральные числа k и  m > k,  что m и  n – k  взаимно просты. Таблица заполняется следующим образом: пусть в некоторой строчке записаны числа  a₁, ..., a_k, a_k+1, ..., a_m, a_m+1, ..., a_n.  Тогда в следующей строчке записываются те же числа, но в таком порядке:  a_m+1, ..., a_n, a_k+1, ..., a_m, a₁, ..., a_k.  В первую строчку записываются (по порядку) числа  1, 2, ..., n.  Доказать, что после заполнения таблицы в каждом столбце будут написаны все числа от 1 до n.

Прислать комментарий

Решение

В ячейку памяти компьютера записали число 6. Далее компьютер делает миллион шагов. На шаге номер n он увеличивает число в ячейке на наибольший общий делитель этого числа и n. Докажите, что на каждом шаге компьютер увеличивает число в ячейке либо на 1, либо на простое число.

Прислать комментарий

Решение

Найдите все такие нечётные натуральные  n > 1,  что для любых взаимно простых делителей a и b числа n число  a + b – 1  также является делителем n.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 40 41 42 43 44 45 46 >> [Всего задач: 276]