Фильтр
Выбрано 11 задач Убрать все задачи
Через концы диаметра окружности проведены две хорды, пересекающиеся на окружности и равные 12 и 16. Найдите расстояния от центра окружности до этих хорд.
Дан выпуклый четырехугольник ABCD. Прямая l∥AC пересекает прямые AD,BC,AB,CD в точках X,Y,Z,T. Описанные окружности треугольников XYB и ZTB вторично пересекаются в точке R. Докажите, что R лежит на прямой BD.
Дан острый угол с вершиной A и точка E внутри него. Построить на сторонах угла точки B, C так, чтобы E была центром окружности Эйлера треугольника ABC.
Угол при основании равнобедренного треугольника равен .
Найдите отношение радиуса вписанной в данный треугольник
окружности к радиусу описанной окружности.
Пусть h — наибольшая высота нетупоугольного
треугольника. Докажите, что r + R h.
Сторона AD параллелограмма ABCD разделена на n равных частей. Первая точка деления P соединена с вершиной B.
Доказать, что прямая BP отсекает на диагонали AC часть AQ, которая равна 1/n+1 части диагонали: AQ = AC/n+1.
Во вписанном четырёхугольнике ABCD известны углы: ∠DAB = α, ∠ABC = β, ∠BKC = γ, где K – точка пересечения диагоналей. Найдите угол ACD.
Многочлен P(x,y) таков, что для всякого целого n⩾ каждый из многочленов P(n, y) и P(x, n) либо тождественно равен нулю, либо имеет степень не выше n.
Может ли многочлен P(x, x) иметь нечётную степень?
Из вершины B произвольного треугольника ABC проведены вне треугольника прямые BM и BN, так что ∠ABM = ∠CBN. Точки A' и C' симметричны точкам A и C относительно прямых BM и BN (соответственно). Доказать, что AC' = A'C.
Найдите геометрическое место точек M, лежащих внутри ромба ABCD и обладающих тем свойством, что ∠AMD + ∠BMC = 180°.
Пусть P(x) – многочлен степени n ≥ 2 с неотрицательными коэффициентами, а a, b и c – длины сторон некоторого остроугольного треугольника.
Докажите, что числа также являются длинами сторон некоторого остроугольного треугольника.
Задачи Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 63]
Задача 61437 |
|
|
Пусть f(x) – многочлен степени m. Докажите, что если m < n, то Δnf(x) = 0. Чему равна величина Δmf(x)?
|
|
Решение |
Задача 66160 |
|
|
Пусть P(x) – многочлен степени n ≥ 2 с неотрицательными коэффициентами, а a, b и c – длины сторон некоторого остроугольного треугольника.
Докажите, что числа также являются длинами сторон некоторого остроугольного треугольника.
|
|
Решение |
Задача 66834 |
|
|
Многочлен P(x, y) таков, что для всякого целого n\geqslant 0 каждый из многочленов P(n, y) и P(x, n) либо тождественно равен нулю, либо имеет степень не выше n.
Может ли многочлен P(x, x) иметь нечётную степень?
|
|
|
Решение |
Задача 66844 |
|
|
Целое число n таково, что уравнение x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx = n имеет решение в целых числах.
Докажите, что тогда и уравнение x^2 + y^2 - xy = n имеет решение в целых числах.
|
|
|
Решение |
Задача 66849 |
|
|
Существует ли непостоянный многочлен P(x), который можно представить в виде суммы a(x) + b(x), где a(x) и b(x) – квадраты многочленов с действительными коэффициентами,
а) ровно одним способом?
б) ровно двумя способами?
Способы, отличающиеся лишь порядком слагаемых, считаются одинаковыми.
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 63]
