К описанной окружности треугольника $ABC$ проведены касательные в точках $B$ и $C$. Лучи $CC_1$, $BB_1$, где $B_1$ и $C_1$ – середины сторон $AC$ и $AB$, пересекают эти касательные в точках $K$ и $L$ соответственно. Докажите, что $\angle BAK=\angle CAL$.

   Решение

Дано натуральное число $n > 1$. Назовём положительную обыкновенную дробь (не обязательно несократимую) хорошей, если сумма её числителя и знаменателя равна $n$. Докажите, что любую положительную обыкновенную дробь, знаменатель которой меньше $n$, можно выразить через хорошие дроби (не обязательно различные) с помощью операций сложения и вычитания тогда и только тогда, когда $n$ — простое число.

Напомним, что обыкновенная дробь — это отношение целого числа к натуральному.

   Решение

В треугольнике ABC медианы AM_A, BM_B и CM_C пересекаются в точке M. Построим окружность Ω_A, проходящую через середину отрезка AM и касающуюся отрезка BC в точке MA. Аналогично строятся окружности Ω_B и Ω_C. Докажите, что окружности Ω_A, Ω_B и Ω_C имеют общую точку.

   Решение

В круг радиуса 1 помещено два треугольника, площадь каждого из которых больше 1. Докажите, что эти треугольники пересекаются.

   Решение

Многоугольник площади B вписан в окружность площади A и описан вокруг окружности площади C. Докажите, что  2B A + C.

   Решение

Существует ли а) ограниченная, б) неограниченная фигура на плоскости, имеющая среди своих осей симметрии две параллельные несовпадающие прямые?

   Решение

При каком натуральном K величина     достигает максимального значения?

   Решение

Сколько осей симметрии может быть у треугольника?

   Решение

Докажите, что площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту.

   Решение

Доказать, что можно расставить в вершинах правильного n-угольника действительные числа x₁, x₂, ..., x_n, все отличные от 0, так, чтобы для любого правильного k-угольника, все вершины которого являются вершинами исходного n-угольника, сумма чисел, стоящих в его вершинах, равнялась 0.

   Решение

Графики двух квадратных трёхчленов пересекаются в двух точках. В обеих точках касательные к графикам перпендикулярны.
Верно ли, что оси симметрии графиков совпадают?

   Решение

а) В круг площади S вписан правильный n-угольник площади S₁, а около этого круга описан правильный n-угольник площади S₂. Докажите, что  S² > S₁S₂.
б) В окружность, длина которой равна L, вписан правильный n-угольник периметра P₁, а около этой окружности описан правильный n-угольник периметра P₂. Докажите, что  L² < P₁P₂.

   Решение

a₁, a₂, a₃, ...  – возрастающая последовательность натуральных чисел. Известно, что  a_ak = 3k  для любого k.
Найти   а)  a₁₀₀;   б)  a₁₉₈₃.

   Решение

Число сторон многоугольника A₁...A_n нечётно. Докажите, что:
  а) если этот многоугольник вписанный и все его углы равны, то он правильный;
  б) если этот многоугольник описанный и все его стороны равны, то он правильный.

   Решение

Построить выпуклый четырёхугольник, зная длины всех сторон и отрезка, соединяющего середины диагоналей.

   Решение

В треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и BB₁ и биссектрисы AA₂ и BB₂; вписанная окружность касается сторон BC и AC в точках A₃ и B₃. Докажите, что прямые  A₁B₁, A₂B₂ и A₃B₃ пересекаются в одной точке или параллельны.

   Решение

Пусть $A_1A_2A_3$ – остроугольный треугольник, радиус описанной окружности равен $1$, $O$ – ее центр. Из вершин $A_i$ проведены чевианы через $O$ до пересечения с противолежащими сторонами в точках $B_i$ соответственно $(i=1, 2, 3)$.

(а) Из трех отрезков $B_iO$ выберем самый длинный. Какова его наименьшая возможная длина?

(б) Из трех отрезков $B_iO$ выберем самый короткий. Какова его наибольшая возможная длина?

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 28]      

В треугольнике известны две стороны a и b. Какой должна быть третья сторона, чтобы наибольший угол треугольника имел наименьшую величину?

Прислать комментарий

Решение

С помощью циркуля и линейки около данного треугольника опишите равносторонний треугольник с наибольшим возможным периметром.

Прислать комментарий

Решение

Пусть $A_1A_2A_3$ – остроугольный треугольник, радиус описанной окружности равен $1$, $O$ – ее центр. Из вершин $A_i$ проведены чевианы через $O$ до пересечения с противолежащими сторонами в точках $B_i$ соответственно $(i=1, 2, 3)$.

(а) Из трех отрезков $B_iO$ выберем самый длинный. Какова его наименьшая возможная длина?

(б) Из трех отрезков $B_iO$ выберем самый короткий. Какова его наибольшая возможная длина?

Прислать комментарий

Решение

Среди всех треугольников, вписанных в данную окружность, найдите тот, у которого максимальна сумма квадратов длин сторон.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что если α, β, γ и α₁, β₁, γ₁ – углы двух треугольников, то   ^{cos α₁}/_{sin α} + ^{cos β₁}/_{sin β} + ^{cos γ₁}/_{sin γ} ≤ ctg α + ctg β + ctg γ.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 28]