Каталог по темам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 23]

Задача 116647

Темы:	[	Параллелограммы (прочее)	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Вписанный угол равен половине центрального	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Емельянова Т.

На стороне BC параллелограмма ABCD (∠A < 90°) отмечена точка T так, что треугольник ATD – остроугольный. Пусть O₁, O₂ и O₃ – центры описанных окружностей треугольников ABT, DAT и CDT соответственно (см. рисунок).

Докажите, что ортоцентр треугольника O₁O₂O₃ лежит на прямой AD.

Прислать комментарий

Решение

Задача 67196

Темы:	[	Параллелограммы (прочее)	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Перенос помогает решить задачу	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Заславский А.А.

Пусть $ABCD$ — параллелограмм, отличный от прямоугольника, а точка $P$ выбрана внутри него так, что описанные окружности треугольников $PAB$ и $PCD$ имеют общую хорду, перпендикулярную $AD$. Докажите, что радиусы данных окружностей равны.

Прислать комментарий Решение

Задача 116675

Темы:	[	Параллелограммы (прочее)	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Конкуррентность высот. Углы между высотами.	]
	[	Вспомогательные равные треугольники	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Медиана, проведенная к гипотенузе	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]
	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]

Сложность: 4
Классы: 7,8,9

Автор: Волчкевич М.А.

В параллелограмме ABCD опустили перпендикуляр BH на сторону AD. На отрезке BH отметили точку M, равноудалённую от точек C и D. Пусть точка K – середина стороны AB. Докажите, что угол MKD прямой.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116344

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Параллелограммы (прочее)	]
	[	Вписанный угол (прочее)	]
	[	Прямоугольные треугольники (прочее)	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Треугольник BHC, где H – ортоцентр треугольника ABC, достроен до параллелограмма BHCD. Докажите, что ∠BAD = ∠CAH.

Прислать комментарий

Решение

Задача 67052

Темы:	[	Подобие	]
	[	Параллелограммы (прочее)	]
	[	Шестиугольники	]
	[	Правильные многоугольники	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Кноп К.А.

Параллелограмм $ABCD$ разделён диагональю $BD$ на два равных треугольника. В треугольник $ABD$ вписан правильный шестиугольник так, что две его соседние стороны лежат на $AB$ и $AD$, а одна из вершин – на $BD$. В треугольник $CBD$ вписан правильный шестиугольник так, что две его соседние вершины лежат на $CB$ и $CD$, а одна из сторон – на $BD$. Какой из шестиугольников больше?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 23]