Версия для печати
Убрать все задачи

---

Найдите объём правильной треугольной пирамиды с боковым ребром b и углом α бокового ребра с плоскостью основания.

   Решение

---

Сто положительных чисел записаны по кругу. Квадрат каждого числа равен сумме двух чисел, стоящих за этим числом по часовой стрелке.
Какие числа могут быть записаны?

   Решение

---

а) Дан выпуклый многоугольник A₁A₂...A_n. На стороне A₁A₂ взяты точки B₁ и D₂, на стороне A₂A₃ – точки B₂ и D₃, ..., на стороне A_nA₁ – точки B_n и D₁ так, что если построить параллелограммы A₁B₁C₁D₁, A₂B₂C₂D₂, ..., A_nB_nC_nD_n, то прямые A₁C₁, A₂C₂, ..., A_nC_n пересекутся в одной точке. Докажите равенство  A₁B₁·A₂B₂·...·A_nB_n = A₁D₁·A₂D₂·...·A_nD_n.

б) Докажите, что для треугольника верно и обратное утверждение: если на стороне A₁A₂ выбраны точки B₁ и D₂, на стороне A₂A₃ – точки B₂ и D₃, а на стороне A₃A₁ – точки B₃ и D₁ так, что  A₁B₁·A₂B₂·A₃B₃ = A₁D₁·A₂D₂· A₃D₃,  то, построив параллелограммы A₁B₁C₁D₁, A₂B₂C₂D₂ и A₃B₃C₃D₃, получим прямые A₁C₁, A₂C₂ и A₃C₃, пересекающиеся в одной точке.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 136]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 53788  [Точка Жергона]

Темы:   [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

В треугольник вписана окружность. Точки касания соединены с противоположными вершинами треугольника.
Докажите, что полученные отрезки пересекаются в одной точке (точка Жергона).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73642

Темы:   [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Выпуклые многоугольники ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

а) Дан выпуклый многоугольник A₁A₂...A_n. На стороне A₁A₂ взяты точки B₁ и D₂, на стороне A₂A₃ – точки B₂ и D₃, ..., на стороне A_nA₁ – точки B_n и D₁ так, что если построить параллелограммы A₁B₁C₁D₁, A₂B₂C₂D₂, ..., A_nB_nC_nD_n, то прямые A₁C₁, A₂C₂, ..., A_nC_n пересекутся в одной точке. Докажите равенство  A₁B₁·A₂B₂·...·A_nB_n = A₁D₁·A₂D₂·...·A_nD_n.

б) Докажите, что для треугольника верно и обратное утверждение: если на стороне A₁A₂ выбраны точки B₁ и D₂, на стороне A₂A₃ – точки B₂ и D₃, а на стороне A₃A₁ – точки B₃ и D₁ так, что  A₁B₁·A₂B₂·A₃B₃ = A₁D₁·A₂D₂· A₃D₃,  то, построив параллелограммы A₁B₁C₁D₁, A₂B₂C₂D₂ и A₃B₃C₃D₃, получим прямые A₁C₁, A₂C₂ и A₃C₃, пересекающиеся в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 87082

Темы:   [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Сфера, касающаяся ребер тетраэдра ] [ Центр масс ] [ Прямые и плоскости в пространстве (прочее) ] [ Теоремы Чевы и Менелая ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Сфера касается всех рёбер тетраэдра. Соединим точки касания на парах несмежных рёбер.
Докажите, что три полученные прямые пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98584

Темы:   [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Дан некоторый угол и точка A внутри него. Можно ли провести через точку A три прямые (не проходящие через вершину угла) так, чтобы на каждой из сторон угла одна из точек пересечения этих прямых со стороной лежала посередине между двумя другими точками пересечения прямых с этой же стороной?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108179

Темы:   [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Пересекающиеся окружности ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Окружности S₁ и S₂ пересекаются в точках M и N. Докажите, что если вершины A и C некоторого прямоугольника ABCD лежат на окружности S₁, а вершины B и D – на окружности S₂, то точка пересечения диагоналей прямоугольника лежит на прямой MN.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 136]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями