Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Тема: Все темы >> Комбинаторика >> Треугольник Паскаля и бином Ньютона
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 16 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Авторы: Агаханов Н.Х., Подлипский О.К.

Пусть P(x) – многочлен степени  n ≥ 2  с неотрицательными коэффициентами, а a, b и c – длины сторон некоторого остроугольного треугольника.
Докажите, что числа    также являются длинами сторон некоторого остроугольного треугольника.

Вниз   Решение

На прямой даны четыре точки A, B, C, D в указанном порядке. Постройте точку M, из которой отрезки AB, BC, CD видны под равными углами.

ВверхВниз   Решение

В равнобедренном треугольнике ABC известны, что AC = 4, AB = BC = 6. Биссектриса угла C пересекает сторону AB в точке D. Через точку D проведена окружность, касающаяся стороны AC в её середине и пересекающая отрезок AD в точке E. Найдите площадь треугольника DEC.

ВверхВниз   Решение

Последовательность чисел {an} задана условиями

a1 = 1,        an + 1 = an + $\displaystyle {\dfrac{1}{a_n^2}}$    (n $\displaystyle \geqslant$ 1).

Верно ли, что эта последовательность ограничена?

ВверхВниз   Решение

На медиане BM и на биссектрисе BK треугольника ABC (или на их продолжениях) взяты точки D и E так, что DK || AB и EM || BC. Докажите, что ED$ \bot$BK.

ВверхВниз   Решение

Центр окружности, касающейся стороны BC треугольника ABC в точке B и проходящей через точку A, лежит на отрезке AC. Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что BC = 6 и AC = 9.

ВверхВниз   Решение

Расстояние от точки M до центра O окружности равно диаметру этой окружности. Через точку M проведены две прямые, касающиеся окружности в точках A и B. Найдите углы треугольника AOB.

ВверхВниз   Решение

Сходимость итерационного процесса. Предположим, что функция f (x) отображает отрезок [a;b] в себя, и на этом отрезке | f'(x)| $ \leqslant$ q < 1. Докажите, что уравнение f (x) = x имеет на отрезке [a;b] единственный корень x*. Докажите, что при решении этого уравнения методом итераций будут выполняться неравенства:

| xn + 1 - xn| $\displaystyle \leqslant$ | x1 - x0| . qn,    | x* - xn| $\displaystyle \leqslant$ | x1 - x0| . $\displaystyle {\frac{q^n}{1-q}}$.


ВверхВниз   Решение

Сколькими способами можно прочитать слово "строка", двигаясь вправо или вниз?:
С Т Р О К А
Т Р О К А
Р О К А
О К А
К А
А

ВверхВниз   Решение

Касательная и секущая, проведённые из одной точки к окружности, взаимно перпендикулярны. Касательная равна 12, а внутренняя часть секущей равна 10. Найдите радиус окружности.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что у многочлена 2Tn(x/2) старший коэффициент равен единице, а все остальные коэффициенты – целые числа.
Здесь Tn – многочлен Чебышёва, смотри задачу 61099.

ВверхВниз   Решение

Автор: Богданов И.И.

Длина каждой стороны выпуклого четырёхугольника ABCD не меньше 1 и не больше 2. Его диагонали пересекаются в точке O.
Докажите, что SAOB + SCOD ≤ 2(SAOD + SBOC).

ВверхВниз   Решение

Докажите, что бесконечная десятичная дробь 0,1234567891011121314... (после запятой подряд выписаны все натуральные числа по порядку) представляет собой иррациональное число.

ВверхВниз   Решение

Автор: Шаповалов А.В.

За круглым столом сидят десять человек, перед каждым – несколько орехов. Всего орехов – сто. По общему сигналу каждый передаёт часть своих орехов соседу справа: половину, если у него (у того, кто передаёт) было чётное число, или один орех плюс половину остатка – если нечётное число. Такая операция проделывается второй раз, затем третий и так далее, до бесконечности. Докажите, что через некоторое время у всех станет по десять орехов.

ВверхВниз   Решение

В большей из двух концентрических окружностей проведена хорда, равная 32 и касающаяся меньшей окружности. Найдите радиус каждой из окружностей, если ширина образовавшегося кольца равна 8.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что  2n > (1 – x)n + (1 + x)n  при целом  n ≥ 2  и  |x| < 1.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 107]      

  с решениями  

Задача 77950

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ]
[ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]
Сложность: 3
Классы: 9,10

Докажите, что  2n > (1 – x)n + (1 + x)n  при целом  n ≥ 2  и  |x| < 1.

Прислать комментарий     Решение

Задача 35392

Темы:   [ Рекуррентные соотношения ]
[ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Тождественные преобразования ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Автор: Вялый М.Н.

Последовательность {an} определяется правилами:  a0 = 9,    .
Докажите, что в десятичной записи числа a10 содержится не менее 1000 девяток.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60736

 [Малая теорема Ферма]
Темы:   [ Малая теорема Ферма ]
[ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Малая теорема Ферма. Пусть p – простое число и p не делит a. Тогда  ap–1 ≡ 1 (mod p).
Докажите теорему Ферма, разлагая  (1 + 1 + ... + 1)p  посредством полиномиальной теоремы (см. задачу 60400).

Прислать комментарий     Решение

Задача 61012

Темы:   [ Тождественные преобразования ]
[ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]
[ Теорема Виета ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Докажите, что если  a + b + c = 0,  то   2(a5 + b5 + c5) = 5abc(a2 + b2 + c2).

Прислать комментарий     Решение

Задача 61126

Темы:   [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
[ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]
[ Комплексные числа помогают решить задачу ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Используя разложение  (1 + i)n  по формуле бинома Ньютона, найдите:
  а)  

  б)  

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 107]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .