Подтемы:
- Пятиугольники (92 задачи)
- Шестиугольники (88 задач)
- Правильные многоугольники (181 задача)
- Сумма внутренних и внешних углов многоугольника (77 задач)
- Вписанные и описанные многоугольники (73 задачи)
- Произвольные многоугольники (30 задач)
- Теорема Паскаля (20 задач)
- Вычисления. Метрические соотношения в многоугольниках (3 задачи)
- Многоугольники (прочее) (36 задач)
Фильтр
Выбрано 17 задач Убрать все задачи
Дан треугольник ABC. Найдите на прямой AB точку M, для которой
сумма радиусов описанных окружностей треугольников ACM и BCM
была бы наименьшей.
Дан угол XAY. Концы B и C отрезков BO и CO длиной 1
перемещаются по лучам AX и AY. Постройте четырехугольник ABOC
наибольшей площади.
Было семь ящиков. В некоторые из них положили еще по семь ящиков (не вложенных друг в друга) и т. д. В итоге стало 10 непустых ящиков.
Сколько всего стало ящиков?
Дан угол XAY и точка O внутри его. Проведите через точку O
прямую, отсекающую от данного угла треугольник наименьшей площади.
Доказать, что n³ + 5n делится на 6 при любом целом n.
Может ли прямая, не содержащая вершин замкнутой 11-звенной ломаной, пересекать все её звенья?
Среди всех решений системы
x² + y² = 4,
z² + t² = 9,
xt + yz = 6
выберите те, для которых величина x + z принимает наибольшее значение.
Дан равнобедренный треугольник ABC с вершиной A. Длина прыжка кузнечика равна основанию BC. Известно, что начиная движение из точки C, кузнечик за 22 прыжка оказался в точке A, приземляясь после каждого прыжка на боковой стороне треугольника ABC и чередуя стороны при каждом прыжке, кроме последнего. Найдите углы треугольника ABC, если известно, что с каждым прыжком кузнечик приближался к точке A.
На стороне AD квадрата ABCD во внутреннюю сторону построен тупоугольный равнобедренный треугольник AED. Вокруг него описана окружность и проведён её диаметр AF, на стороне CD выбрана точка G так, что CG = DF. Докажите, что угол BGE меньше половины угла AED.
Докажите, что сумма квадратов длин проекций сторон правильного n-угольника на любую прямую равна ½ na², где a – сторона n-угольника.
На плоскости отмечена точка O. Можно ли так расположить на плоскости: а) 5 кругов; б) 4 круга, не покрывающих точку O, чтобы каждый луч с началом в точке O пересекал не менее двух кругов?
В прямоугольном треугольнике ABC с катетами AB = 3 и BC = 4 через середины сторон AB и AC проведена окружность, касающаяся катета BC. Найдите длину отрезка гипотенузы AC, который лежит внутри этой окружности.
Отрезок, соединяющий вершину A треугольника ABC с центром Q вневписанной окружности, касающейся стороны BC, пересекает описанную окружность треугольника ABC в точке D. Докажите, что треугольник BDQ – равнобедренный.
В треугольной пирамиде ABCD известно, что AB = 8, CD = 12,
расстояние между прямыми AB и CD равно 6, а объем пирамиды равен
48. Найдите угол между прямыми AB и CD.
Даны точки A(1;0;1) , B(-2;2;1) , C(2;0;3) и D(0;4;-2) . Найдите расстояние от точки D до плоскости ABC .
Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.
В государстве царя Додона расположено 500 городов, каждый из которых имеет форму правильной 37-угольной звезды, в вершинах которой находятся башни. Додон решил обнести их выпуклой стеной так, чтобы каждый отрезок стены соединял две башни. Доказать, что стена будет состоять не менее чем из 37 отрезков. (Если несколько отрезков лежат на одной прямой, то они считаются за один.)
Задачи Страница: << 40 41 42 43 44 45 46 >> [Всего задач: 508]
Задача 78154 |
|
|
Из бумаги вырезан многоугольник. Две точки его границы соединяются отрезком, по которому многоугольник складывается. Доказать, что периметр многоугольника, получающегося после складывания, меньше периметра исходного многоугольника.
|
|
Решение |
Задача 78287 |
|
|
У края биллиарда, имеющего форму правильного 2n-угольника, стоит шар. Как надо пустить шар от борта, чтобы он, отразившись последовательно от всех бортов, вернулся в ту же точку? (При отражении углы падения и отражения равны.) Доказать, что при этом длина пути шара не зависит от выбора начальной точки.
|
|
|
Решение |
Задача 78701 |
|
|
В государстве царя Додона расположено 500 городов, каждый из которых имеет форму правильной 37-угольной звезды, в вершинах которой находятся башни. Додон решил обнести их выпуклой стеной так, чтобы каждый отрезок стены соединял две башни. Доказать, что стена будет состоять не менее чем из 37 отрезков. (Если несколько отрезков лежат на одной прямой, то они считаются за один.)
|
|
Решение |
Задача 98537 |
|
|
Высотой пятиугольника назовём отрезок перпендикуляра, опущенного из вершины на противоположную сторону, а медианой – отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны. Известно, что в некотором пятиугольнике равны десять длин – длины всех высот и всех медиан. Докажите, что этот пятиугольник – правильный.
|
|
|
Решение |
Задача 108051 |
|
|
В описанном пятиугольнике ABCDE диагонали AD и CE пересекаются в центре O вписанной окружности.
Докажите, что отрезок BO и сторона DE перпендикулярны.
|
|
|
Решение |
Страница: << 40 41 42 43 44 45 46 >> [Всего задач: 508]
