Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 14 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Автор: Фомин С.В.

Два шахматиста играют между собой в шахматы с часами (сделав ход, шахматист останавливает свои часы и пускает часы другого). Известно, что после того, как оба сделали по 40 ходов, часы обоих шахматистов показывали одно и то же время: 2 часа 30 мин.

  а) Докажите, что в ходе партии был момент, когда часы одного обгоняли часы другого не менее, чем на 1 мин. 51 сек.
  б) Можно ли утверждать, что в некоторый момент разница показаний часов была равна 2 мин.?

Вниз   Решение


В треугольнике ABC проведён серединный перпендикуляр к стороне AB до пересечения с другой стороной в некоторой точке C'. Аналогично построены точки A' и B'. Для каких исходных треугольников треугольник A'B'C' будет равносторонним?

ВверхВниз   Решение


В городе Плоском нет ни одной башни. Для развития туризма жители города собираются построить несколько башен общей высотой в 30 этажей. Инспектор Высотников, поднимаясь на каждую башню, считает число более низких башен, а потом складывает получившиеся величины. После чего инспектор рекомендует город тем сильнее, чем получившаяся величина больше. Сколько и какой высоты башен надо построить жителям, чтобы получить наилучшую возможную рекомендацию?

ВверхВниз   Решение


На знакомом нам заводе вырезают металлические диски диаметром 1 м. Известно, что диск диаметром ровно 1 м весит ровно 100 кг. При изготовлении возникает ошибка измерения, и поэтому стандартное отклонение радиуса составляет 10 мм. Инженер Сидоров считает, что стопка из 100 дисков в среднем будет весить 10000 кг. На сколько ошибается инженер Сидоров?

ВверхВниз   Решение


Какое число больше: 3111 или 1714?

ВверхВниз   Решение


В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA', BB', CC'. Известно, что в треугольнике A'B'C' эти прямые также являются биссектрисами.
Верно ли, что треугольник ABC равносторонний?

ВверхВниз   Решение


Сколько цифр у числа 21000?

ВверхВниз   Решение


Точки M и N – середины соседних сторон соответственно BC и CD параллелограмма ABCD. Докажите, что прямые DM и BN пересекаются на диагонали AC.

ВверхВниз   Решение


Продолжение биссектрисы AD треугольника ABC пересекает описанную окружность в точке M. Пусть Q - центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Докажите, что треугольники MBQ и MCQ - равнобедренные.

ВверхВниз   Решение


В круге радиуса 1 проведены хорды AB = $ \sqrt{2}$ и BC = $ {\frac{10}{7}}$. Найдите площадь части круга, лежащей внутри угла ABC, если угол BAC острый.

ВверхВниз   Решение


В треугольнике $ABC$ провели высоты $AX$ и $BZ$, а также биссектрисы $AY$ и $BT$. Известно, что углы $XAY$ и $ZBT$ равны. Обязательно ли треугольник $ABC$ равнобедренный?

ВверхВниз   Решение


Докажите, что многочлен  x12x9 + x4x + 1  при всех значениях x положителен.

ВверхВниз   Решение


Одна вершина правильного треугольника лежит на окружности, а две другие делят некоторую хорду на три равные части.
Под каким углом видна хорда из центра окружности?

ВверхВниз   Решение


Автор: Анджанс А.

Будем говорить, что две пирамиды соприкасаются гранями, если эти пирамиды не имеют общих внутренних точек и некоторая грань одной пирамиды пересекается с некоторой гранью другой пирамиды по многоугольнику. Можно ли расположить восемь пирамид в пространстве так, чтобы каждые две соприкасались гранями?

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 1036]      



Задача 67183

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Арифметические действия. Числовые тождества ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Саша записывает числа 1, 2, 3, 4, 5 в каком-нибудь порядке, расставляет знаки арифметических операций «$+$», «$-$», «$\times$» и скобки и смотрит на результат полученного выражения. Например, он может получить число 8 с помощью выражения $(4 - 3) \times (2 + 5) + 1$. Может ли он получить число 123?

Формировать числа из нескольких других нельзя (например, из чисел 1 и 2 нельзя составить число 12).
Прислать комментарий     Решение


Задача 67388

Тема:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3
Классы: 5,6,7,8

Квадрат $10\times10$ клеток надо покрыть полосками $1\times9$ клеток. Сделайте это так, чтобы каждая клетка была покрыта одной или двумя полосками, но никакой прямоугольник $1\times2$ не был покрыт в два слоя. (Полоски кладут по линиям сетки горизонтально или вертикально, полоски не должны выходить за границу квадрата.)
Прислать комментарий     Решение


Задача 67394

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Теория алгоритмов (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 6,7,8,9

На асфальте нарисована полоса $1\times10$ для игры в «классики». Из центра первого квадрата надо сделать 9 прыжков по центрам квадратов (иногда вперёд, иногда назад) так, чтобы побывать в каждом квадрате по одному разу и закончить маршрут в последнем квадрате. Аня и Варя обе прошли полосу, и каждый очередной прыжок Ани был на то же расстояние, что и очередной прыжок Вари. Обязательно ли они пропрыгали квадраты в одном и том же порядке?
Прислать комментарий     Решение


Задача 78151

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Куб ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

Каждая грань куба заклеивается двумя равными прямоугольными треугольниками с общей гипотенузой, один из которых белый, другой — чёрный. Можно ли эти треугольники расположить так, чтобы при каждой вершине куба сумма белых углов была равна сумме чёрных углов?
Прислать комментарий     Решение


Задача 78679

Тема:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3
Классы: 10,11

На плоскости нарисован правильный многоугольник A1A2A3A4A5. Можно ли выбрать в плоскости множество точек, обладающее следующим свойством: через любую точку, не лежащую внутри пятиугольника, можно провести отрезок, концы которого являются точками нашего множества, а через точки, лежащие внутри пятиугольника, такого отрезка провести нельзя.

Примечание.
1. Отрезок проходит через любую свою точку, в частности, через свой конец.
2. "Внутри" — значит строго внутри.
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 1036]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .