Версия для печати
Убрать все задачи

---

Дана функция    ,   где трёхчлены  x² + ax + b  и  x² + cx + d  не имеют общих корней. Докажите, что следующие два утверждения равносильны:
  1) найдётся числовой интервал, свободный от значений функции;
  2)  f(x) представима в виде:  f(x) = f₁(f₂(...f_n–1(f_n(x))...)),  где каждая из функций  f_i(x) есть функция одного из видов:   k_ix + b_i, x^–1, x².

   Решение

Страница: << 43 44 45 46 47 48 49 >> [Всего задач: 267]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 78043

Темы:   [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Квадратный трехчлен (прочее) ] [ Монотонность и ограниченность ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Трёхчлен  ax² + bx + c  при всех целых x является точной четвёртой степенью. Доказать, что тогда  a = b = 0.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109759

Темы:   [ Кубические многочлены ] [ Исследование квадратного трехчлена ] [ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Многочлены P, Q и R с действительными коэффициентами, среди которых есть многочлен второй степени и многочлен третьей степени, удовлетворяют равенству  P² + Q² = R².  Докажите, что все корни одного из многочленов третьей степени – действительные.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111040

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ] [ Уравнения в целых числах ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Найдите все такие натуральные  (a, b),  что a² делится на натуральное число  2ab² – b³ + 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98330

Темы:   [ Итерации ] [ Квадратные уравнения и системы уравнений ] [ Многочлен n-й степени имеет не более n корней ] [ Теорема Безу. Разложение на множители ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Докажите, что не существует никакой (даже разрывной) функции  y = f(x),  для которой  f(f(x)) = x² – 1996  при всех x.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98421

Темы:   [ Замена переменных ] [ Квадратный трехчлен (прочее) ] [ Возрастание и убывание. Исследование функций ] [ Разрывы функций ]

Сложность: 5- Классы: 9,10

Дана функция    ,   где трёхчлены  x² + ax + b  и  x² + cx + d  не имеют общих корней. Докажите, что следующие два утверждения равносильны:
  1) найдётся числовой интервал, свободный от значений функции;
  2)  f(x) представима в виде:  f(x) = f₁(f₂(...f_n–1(f_n(x))...)),  где каждая из функций  f_i(x) есть функция одного из видов:   k_ix + b_i, x^–1, x².

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 43 44 45 46 47 48 49 >> [Всего задач: 267]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями