Каталог по темам

Задачи

Страница: << 78 79 80 81 82 83 84 >> [Всего задач: 984]

Задача 116941

Темы:	[	Исследование квадратного трехчлена	]
Темы:	[	Симметрия помогает решить задачу	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Агаханов Н.Х.

Даны три квадратных трёхчлена P(x), Q(x) и R(x) с положительными старшими коэффициентами, имеющие по два различных корня. Оказалось, что при подстановке корней трёхчлена R(x) в многочлен P(x) + Q(x) получаются равные значения. Аналогично при подстановке корней трёхчлена P(x) в многочлен Q(x) + R(x) получаются равные значения, а также при подстановке корней трёхчлена Q(x) в многочлен P(x) + R(x) получаются равные значения. Докажите, что три числа: сумма корней трёхчлена P(x), сумма корней трёхчлена Q(x) и сумма корней трёхчлена R(x) равны между собой.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116953

Темы:	[	Разложение на множители	]
Темы:	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Голованов А.С.

Найдите все такие натуральные k, что при каждом нечётном n > 100 число 20ⁿ + 13ⁿ делится на k.

Прислать комментарий

Решение

Задача 32088

Темы:	[	Свойства коэффициентов многочлена	]
	[	Рациональные и иррациональные числа	]
	[	Целочисленные и целозначные многочлены	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Интерполяционный многочлен Лагранжа	]
	[	Интерполяционный многочлен Ньютона	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Известно, что некоторый многочлен в рациональных точках принимает рациональные значения.
Докажите, что все его коэффициенты рациональны.

Прислать комментарий

Решение

Задача 35154

Темы:	[	Свойства коэффициентов многочлена	]
	[	Вычисление производной	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Докажите, что при умножении многочлена (x + 1)^n–1 на любой многочлен, отличный от нуля, получается многочлен, имеющий не менее n отличных от нуля коэффициентов.

Прислать комментарий

Решение

Задача 35728

Темы:	[	Многочлен нечетной степени имеет действительный корень	]
	[	Уравнение плоскости	]
	[	Алгебраические уравнения и системы уравнений (прочее)	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Докажите, что в пространстве найдётся гладкая кривая, которая пересекается с каждой плоскостью.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 78 79 80 81 82 83 84 >> [Всего задач: 984]