Страница: << 66 67 68 69 70 71 72 >> [Всего задач: 2396]
Точки A , B , C , D , A1 , B1 , C1 , D1
лежат на сфере. Отрезки AA1 , BB1 , CC1 , DD1
пересекаются в точке S , которая делит отрезок DD1 пополам.
Известно, что DD1 = 2
, отношение радиусов вписанных
окружностей треугольников SB1C и SBC1 равно 
,
отношение объёмов пирамид SABC и SA1B1C1 равно
, а отношение объёмов пирамид SA1BD и
SAB1D1 равно 
. Найдите отрезки SA ,
SB , SC .
Ортогональной проекцией правильного тетраэдра на
плоскость, параллельную одному из рёбер, является
четырёхугольник площади S , у которого отношение
наибольшей и наименьшей сторон равно 
.
Найдите площадь поверхности тетраэдра.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
Высоты тетраэдра пересекаются в одной точке (такой
тетраэдр называется ортоцентрическим). Докажите, что точка
пересечения медиан, точка пересечения высот и центр описанной
сферы лежат на одной прямой.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
Пусть a и a1 , b и b1 , c и c1 – пары
противоположных рёбер тетраэдра; α , β и γ
соответственно – углы между ними ( α 
90o ,
β 90o и γ 90o ).
Докажите, что из трёх величин aa1 cos α , bb1 cos β
и cc1 cos γ одна равна сумме двух других.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
В правильной треугольной пирамиде SABC ( S – вершина) на
ребре AC взята точка L так, что LC:AC=4:5 . Медианы грани SAB
пересекаются в точке K . Сфера, центр которой лежит на прямой KL ,
проходит через точки B , C и пересекает прямую AB в точке P так,
что BP=b . Найдите объём пирамиды SABC , если известно, что радиус
сферы равен b .
Страница: << 66 67 68 69 70 71 72 >> [Всего задач: 2396]
Фильтр
