Страница: << 27 28 29 30 31 32 33 >> [Всего задач: 532]      

На биссектрисе AA₁ треугольника ABC выбрана точка X. Прямая BX пересекает сторону AC в точке B₁, а прямая CX пересекает сторону AB в точке C₁. Отрезки A₁B₁ и CC₁ пересекаются в точке P, а отрезки A₁C₁ и BB₁ пересекаются в точке Q. Докажите, что углы PAC и QAB равны.

Прислать комментарий

Решение

Пусть точка $M$ – середина катета $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$ с прямым углом $A$. На медиане $AN$ треугольника $AMC$ отмечена точка $D$, так что углы $ACD$ и $BCM$ равны. Докажите, что угол $DBC$ также равен этим углам.

Прислать комментарий

Решение

Биссектриса угла A треугольника ABC пересекает описанную окружность в точке D. Пусть P – точка, симметричная центру вписанной окружности треугольника ABC относительно середины стороны BC, M – вторая точка пересечения прямой DP с описанной окружностью. Докажите, что расстояние от точки M до одной из вершин A, B, C равно сумме расстояний от M до двух других вершин.

Прислать комментарий

Решение

Две окружности радиусов R и r касаются прямой l в точках A и B и пересекаются в точках C и D . Докажите, что радиус окружности, описанной около треугольника ABC не зависит от длины отрезка AB .

Прислать комментарий

Решение

Окружности S1 и S2 пересекаются в точках A и B . На окружности S1 взята точка Q . Прямые QA и QB пересекают окружность S2 в точках C и D . Касательные к окружности S1 в точках A и B пересекаются в точке P . Точка Q расположена вне окружности S2 , точки C и D — вне S1 . Докажите, что прямая QP проходит через середину отрезка CD .

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 27 28 29 30 31 32 33 >> [Всего задач: 532]