Тема: Все темы >> Геометрия >> Планиметрия >> Треугольники >> Замечательные точки и линии в треугольнике Подтемы: Средняя линия треугольника (331 задача) Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. (181 задача) Удвоение медианы (60 задач) Свойства серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. (28 задач) Свойства биссектрис, конкуррентность (92 задачи) Углы между биссектрисами (111 задач) Отношение, в котором биссектриса делит сторону (246 задач) Конкуррентность высот. Углы между высотами. (75 задач) Ортоцентр и ортотреугольник (247 задач) Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч. (39 задач) Прямая Эйлера и окружность девяти точек (74 задачи) Точки Брокара (12 задач) Точка Лемуана (38 задач) Точка Торричелли (15 задач) Прямая Симсона (32 задачи) Прямая Гаусса (5 задач) Точка Нагеля. Прямая Нагеля (10 задач) Точка Микеля (19 задач) Подерный (педальный) треугольник (18 задач) Замечательные точки и линии в треугольнике (прочее) (15 задач) Фильтр Сложность с 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 по 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10   Класс с 5 6 7 8 9 10 11 по 5 6 7 8 9 10 11
Задачи Страница: << 71 72 73 74 75 76 77 >> [Всего задач: 1460]       по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями   Задача 66017 Темы:   [ Замечательные точки и линии в треугольнике (прочее) ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Вспомогательная окружность ] [ Теорема синусов ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Удвоение медианы ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] Сложность: 4- Классы: 9,10,11 Автор: Обухов Б. В остроугольном треугольнике ABC проведены медиана AM и высота BH. Перпендикуляр, восстановленный в точке M к прямой AM, пересекает луч HB в точке K. Докажите, что если  ∠MAC = 30°,  то  AK = BC.
	Прислать комментарий	Решение

В треугольнике ABC c углом A, равным 45°, проведена медиана AM. Прямая b симметрична прямой AM относительно высоты BB₁, а прямая c симметрична прямой AM относительно высоты CC₁. Прямые b и c пересеклись в точке X. Докажите, что  AX = BC.

Прислать комментарий

Решение

В остроугольном треугольнике ABC  AA', BB' и CC' – высоты. Точки C_a, C_b симметричны C' относительно AA' и BB'. Аналогично определены точки A_b, A_c, B_c, B_a. Докажите, что прямые A_bB_a, B_cC_b и C_aA_c параллельны.

Прислать комментарий

Решение

Пусть H – ортоцентр остроугольного треугольника ABC. Серединный перпендикуляр к отрезку BH пересекает стороны BA, BC в точках A₀, C₀ соответственно. Докажите, что периметр треугольника A₀OC₀ (O – центр описанной окружности треугольника ABC) равен AC.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике ABC проведены высоты AH₁, BH₂ и CH₃. Точка M – середина отрезка H₂H₃. Прямая AM пересекает отрезок H₂H₁ в точке K.
Докажите, что точка K принадлежит средней линии треугольника ABC, параллельной AC.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 71 72 73 74 75 76 77 >> [Всего задач: 1460]      

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)

Пишите нам