Страница: << 73 74 75 76 77 78 79 >> [Всего задач: 1460]      

Про треугольник $ABC$ известно, что точка, симметричная ортоцентру относительно центра описанной окружности, лежит на стороне $BC$. Пусть $A_1$ – основание высоты, проведенной из точки $A$. Докажите, что $A_1$ лежит на окружности, проходящей через середины трёх высот треугольника $ABC$.

Прислать комментарий

Решение

Дан вписанный четырёхугольник $ABCD$. Пусть $M_{ac}$ – середина диагонали $AC$; $H_d$, $H_b$ – ортоцентры треугольников $ABC$, $ADC$ соответственно; $P_d$, $P_b$ – проекции $H_d$ и $H_b$ на $BM_{ac}$ и $DM_{ac}$ соответственно. Аналогично определим $P_a$, $P_c$ для диагонали $BD$. Докажите, что $P_a$, $P_b$, $P_c$, $P_d$ лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

Прямая $\ell$, проходящая через ортоцентр $H$ треугольника $ABC$ ($BC > AB$) и параллельная $AC$, пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $D$ и $E$ соответственно. Прямая, проходящая через центр описанной окружности этого треугольника и параллельная его медиане $BM$, пересекает прямую $\ell$ в точке $F$. Докажите, что длина отрезка $HF$ втрое больше разности отрезков $FE$ и $DH$.

Прислать комментарий

Решение

Через точку $X$ проведены три луча, образующие друг с другом углы, равные $120^\circ$. Окружность $\omega$ радиуса $R$ выбирается произвольным образом так, чтобы точка $X$ лежала внутри неё. Пусть $A$, $B$, $C$ – точки пересечения лучей с окружностью. Найдите $\max(XA + XB + XC)$.

Прислать комментарий

Решение

Высоты $AA_1$, $BB_1$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Точки $A'$, $B'$ симметричны $A$, $B$ относительно $BB_1$, $AA_1$ соответственно. Докажите, что окружности девяти точек треугольников $A'B'C$ и $A'B'H$ касаются.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 73 74 75 76 77 78 79 >> [Всего задач: 1460]