Страница:
<< 8 9 10 11 12 13
14 >> [Всего задач: 70]
|
|
Сложность: 4+ Классы: 10,11
|
Пусть MA, MB, MC – середины сторон неравнобедренного треугольника ABC, точки HA, HB, HC, отличные от MA, MB, MC, лежащие на соответствующих сторонах, таковы, что MAHB = MAHC, MBHA = MBHC, MCHA = MCHB. Докажите, что HA, HB, HC – основания высот треугольника ABC.
|
|
Сложность: 5- Классы: 10,11
|
В тетраэдре $ABCD$ скрещивающиеся рёбра попарно
равны. Через середину отрезка $AH_A$, где $H_A$ – точка пересечения
высот грани $BCD$, провели прямую $h_A$ перпендикулярно плоскости
$BCD$. Аналогичным образом определили точки $H_B$, $H_C$, $H_D$ и
построили прямые $h_B$, $h_C$, $h_D$ соответственно для трёх других
граней тетраэдра. Докажите, что прямые $h_A$, $h_B$, $h_C$, $h_D$
пересекаются в одной точке.
|
|
Сложность: 5- Классы: 8,9,10,11
|
Через вершины треугольника ABC проводятся три произвольные параллельные прямые da, db, dc. Прямые, симметричные da, db, dc относительно BC, CA, AB соответственно, образуют треугольник XYZ. Найдите геометрическое место центров вписанных окружностей таких треугольников.
|
|
Сложность: 5 Классы: 9,10,11
|
В прямоугольном треугольнике $ABC$ $I$ – центр вписанной окружности, $M$ – середина гипотенузы $AB$. Касательная к описанной окружности треугольника $ABC$ в точке $C$ пересекает прямую, проходящую через $I$ и параллельную $AB$, в точке $P$. Точка $H$ – ортоцентр треугольника $PAB$. Докажите, что точка пересечения прямых $CH$ и $PM$ лежит на вписанной окружности треугольника $ABC$.
|
|
Сложность: 4- Классы: 9,10,11
|
В треугольник АВС вписана окружность. Из середины каждого отрезка, соединяющего две точки касания, проводится перпендикуляр к противолежащей стороне. Докажите, что эти перпендикуляры пересекаются в одной точке.
Страница:
<< 8 9 10 11 12 13
14 >> [Всего задач: 70]