Каталог по темам

Задачи

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 70]

Задача 65375

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Касающиеся окружности	]
	[	Прямая Эйлера и окружность девяти точек	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Авторы: Крутовский Р., Фролов И.И.

В треугольнике ABC серединный перпендикуляр к BC пересекает прямые AB и AC в точках A_B и A_C соответственно. Обозначим через O_a центр описанной окружности треугольника AA_BA_C. Аналогично определим O_b и O_c. Докажите, что описанная окружность треугольника O_aO_bO_c касается описанной окружности исходного треугольника.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65809

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Прямая Эйлера и окружность девяти точек	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]
	[	Центр поворотной гомотетии	]
	[	Применение проективных преобразований прямой в задачах на доказательство	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Доледенок А.В.

BB₁ и CC₁ – высоты треугольника ABC. Касательные к описанной окружности треугольника AB₁C₁ в точках B₁ и C₁ пересекают прямые AB и AC в точках M и N соответственно. Докажите, что вторая точка пересечения описанных окружностей треугольников AMN и AB₁C₁ лежит на прямой Эйлера треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 58399

Темы:	[	Связь величины угла с длиной дуги и хорды	]
	[	Прямая Симсона	]
	[	Прямая Эйлера и окружность девяти точек	]

Сложность: 6+
Классы: 9,10

Во вписанном четырёхугольнике ABCD прямая Симсона точки A относительно треугольника BCD перпендикулярна прямой Эйлера треугольника BCD. Докажите, что прямая Симсона точки B относительно треугольника ACD перпендикулярна прямой Эйлера треугольника ACD.

Прислать комментарий Решение

Задача 58348

[Теорема Фейербаха]

Темы:	[	Цепочки окружностей. Теорема Фейербаха	]
	[	Инверсия помогает решить задачу	]
	[	Прямая Эйлера и окружность девяти точек	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 7
Классы: 9,10,11

а) Докажите, что окружность, проходящая через середины сторон треугольника, касается его вписанной и трех вневписанных окружностей (Фейербах).
б) На сторонах AB и AC треугольника ABC взяты точки C₁ и B₁ так, что AC₁ = B₁C₁ и вписанная окружность S треугольника ABC является вневписанной окружностью треугольника AB₁C₁. Докажите, что вписанная окружность треугольника AB₁C₁ касается окружности, проходящей через середины сторон треугольника ABC.

Прислать комментарий Решение

Задача 64895

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Средняя линия треугольника	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Прямая Эйлера и окружность девяти точек	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Точки D, Е и F – середины сторон ВС, АС и АВ треугольника АВС соответственно. Через центры вписанных окружностей треугольников AEF, BDF и СDE проведена окружность. Докажите, что её радиус равен радиусу описанной окружности треугольника DEF.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 70]