Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 74]      

AA1 и CC1 — высоты остроугольного треугольника ABC , в котором ABC = 45^o . Точки O и H — соответственно центр описанной окружности и ортоцентр треугольника ABC . Докажите, что прямая A1C1 проходит через середину отрезка OH .

Прислать комментарий

Решение

Докажите что в равногранном тетраэдре основания высот, середины высот и точки пересечения высот граней лежат на одной сфере (сфера 12-ти точек}.

Прислать комментарий

Решение

  На плоскости даны три прямые l₁, l₂, l₃, образующие треугольник, и отмечена точка O – центр описанной окружности этого треугольника. Для произвольной точки X плоскости обозначим через X_i точку, симметричную точке X относительно прямой l_i,  i = 1, 2, 3.
  а) Докажите, что для произвольной точки M прямые, соединяющие середины отрезков O₁O₂ и M₁M₂, O₂O₃ и M₂M₃, O₃O₁ и M₃M₁, пересекаются в одной точке.
  б) Где может лежать эта точка пересечения?

Прислать комментарий

Решение

Дан треугольник ABC и прямая l, пересекающая BC, CA и AB в точках A₁, B₁ и C₁ соответственно. Точка A' – середина отрезка, соединяющего проекции A₁ на AB и AC. Аналогично определяются точки B' и C'.
  а) Докажите, что A', B' и C' лежат на некоторой прямой l'.
  б) Докажите, что, если l проходит через центр описанной окружности треугольника ABC, то l' проходит через центр его окружности девяти точек.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике ABC серединный перпендикуляр к BC пересекает прямые AB и AC в точках A_B и A_C соответственно. Обозначим через O_a центр описанной окружности треугольника AA_BA_C. Аналогично определим O_b и O_c. Докажите, что описанная окружность треугольника O_aO_bO_c касается описанной окружности исходного треугольника.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 74]