Страница: << 436 437 438 439 440 441 442 >> [Всего задач: 2266]      

Все вершины треугольника ABC лежат внутри квадрата K . Докажите, что если все их отразить симметрично относительно точки пересечения медиан треугольника ABC , то хотя бы одна из полученных трех точек окажется внутри K .

Прислать комментарий

Решение

Точка E лежит на стороне AC правильного треугольника ABC, K – середина отрезка AE. Прямая, проходящая через точку E перпендикулярно прямой AB, и прямая, проходящая через точку C перпендикулярно прямой BC, пересекаются в точке D. Найдите углы треугольника BKD.

Прислать комментарий

Решение

На сторонах AB, AC и BC правильного треугольника ABC расположены соответственно точки C₁, B₁ и A₁ так, что треугольник A₁B₁C₁ – правильный. Отрезок BB₁ пересекает сторону C₁A₁ в точке O, причём  ^BO/_OB1 = k.  Найдите отношение площади треугольника ABC к площади треугольника A₁B₁C₁.

Прислать комментарий

Решение

Вписанная окружность треугольника ABC касается сторон CA и AB в точках B₁ и C₁, а вневписанная окружность касается продолжения этих сторон в точках B₂ и C₂. Докажите, что середина стороны BC равноудалена от прямых B₁C₁ и B₂C₂.

Прислать комментарий

Решение

На окружности ω c центром O фиксированы точки A и C. Точка B движется по дуге AC. Точка P – фиксированная точка хорды AC. Прямая, проходящая через P параллельно AO, пересекает прямую BA в точке A₁; прямая, проходящая через P параллельно CO, пересекает прямую BC в точке C₁. Докажите, что центр описанной окружности треугольника A₁BC₁ движется по прямой.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 436 437 438 439 440 441 442 >> [Всего задач: 2266]