Каталог по темам

Задачи

Страница: << 442 443 444 445 446 447 448 >> [Всего задач: 2266]

Задача 116394

Темы:	[	Многоугольники (прочее)	]
	[	Кривые второго порядка	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Соображения непрерывности	]
	[	Общие четырехугольники	]
	[	Доказательство от противного	]
	[	Против большей стороны лежит больший угол	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Богданов И.И.

Существует ли выпуклый N-угольник, все стороны которого равны, а все вершины лежат на параболе y = x², если
а) N = 2011;
б) N = 2012?

Прислать комментарий

Решение

Задача 116636

Темы:	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]
	[	Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие	]
	[	Вспомогательные равные треугольники	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Шмаров В.

Пусть ABC – правильный треугольник. На его стороне AC выбрана точка T, а на дугах AB и BC его описанной окружности выбраны точки M и N соответственно так, что MT || BC и NT || AB. Отрезки AN и MT пересекаются в точке X, а отрезки CM и NT – в точке Y. Докажите, что периметры многоугольников AXYC и XMBNY равны.

Прислать комментарий

Решение

Задача 52479

Темы:	[	Диаметр, основные свойства	]
	[	Наименьший или наибольший угол	]
	[	Неравенства с углами	]
	[	Принцип Дирихле (углы и длины)	]
	[	Общие четырехугольники	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

На сторонах выпуклого четырёхугольника как на диаметрах построены четыре круга. Докажите, что они покрывают весь четырёхугольник.

Прислать комментарий Решение

Задача 65810

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Выход в пространство	]
	[	Равногранный тетраэдр	]
	[	Прямая Эйлера и окружность девяти точек	]
	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Автор: Якубов А.

Пусть M_A, M_B, M_C – середины сторон неравнобедренного треугольника ABC, точки H_A, H_B, H_C, отличные от M_A, M_B, M_C, лежащие на соответствующих сторонах, таковы, что M_AH_B = M_AH_C, M_BH_A = M_BH_C, M_CH_A = M_CH_B. Докажите, что H_A, H_B, H_C – основания высот треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 98151

Темы:	[	Отношение площадей треугольников с общим углом	]
	[	Теоремы Чевы и Менелая	]
	[	Теорема синусов	]
	[	Аналитический метод в геометрии	]
	[	Трапеции (прочее)	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Автор: Токарев С.И.

Дан угол с вершиной O и внутри него точка A. Рассмотрим такие точки M, N на разных сторонах данного угла, что углы MAO и OAN равны.
Докажите, что все прямые MN проходят через одну точку (или параллельны).

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 442 443 444 445 446 447 448 >> [Всего задач: 2266]