Страница: << 49 50 51 52 53 54 55 >> [Всего задач: 563]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 103936

Темы:   [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Точки A₁, B₁, C₁ – середины сторон правильного треугольника ABC. Три параллельные прямые, проходящие через A₁, B₁, C₁, пересекают, соответственно, прямые B₁C₁, C₁A₁, A₁B₁ в точках A₂, B₂, C₂. Доказать, что прямые AA₂, BB₂, CC₂ пересекаются в одной точке, лежащей на описанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 107980

Темы:   [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Задачи на движение ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

Придворный астролог царя Гороха называет время суток хорошим, если на часах с центральной секундной стрелкой при мгновенном обходе циферблата по ходу часов минутная стрелка встречается после часовой и перед секундной. Какого времени в сутках больше: хорошего или плохого? (Стрелки часов движутся с постоянной скоростью.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108681

Темы:   [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Точки P₁, P₂, ..., P_n–1 делят сторону BC равностороннего треугольника ABC на n равных частей:  BP₁ = P₁P₂ = ... = P_n–lC.  Точка M выбрана на стороне AC так, что  AM = BP₁.

Докажите, что  ∠AP₁M + ∠AP₂M + ... + ∠AP_n–1M = 30°,  если
  а)  n = 3;
  б) n – произвольное натуральное число.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109647

Темы:   [ Пересекающиеся окружности ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Композиции поворотов ] [ Поворот помогает решить задачу ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку A проведена прямая, вторично пересекающая первую окружность в точке C, а вторую – в точке D. Пусть M и N – середины дуг BC и BD, не содержащих точку A, а K – середина отрезка CD. Докажите, что угол MKN прямой. (Можно считать, что точки C и D лежат по разные стороны от точки A.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115772

Темы:   [ Четырехугольники (прочее) ] [ Композиции симметрий ] [ Композиции поворотов ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Два выпуклых четырёхугольника таковы, что стороны каждого лежат на серединных перпендикулярах к сторонам другого. Найдите их углы.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 49 50 51 52 53 54 55 >> [Всего задач: 563]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями