Каталог по темам

Задачи

Страница: << 87 88 89 90 91 92 93 >> [Всего задач: 563]

Задача 116183

Темы:	[	Комбинаторная геометрия (прочее)	]
	[	Покрытия	]
	[	Осевая и скользящая симметрии (прочее)	]
	[	Композиции симметрий	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 5
Классы: 9,10

Автор: Чеботарев А.С.

На плоскости расположен круг. Какое наименьшее количество прямых надо провести, чтобы, симметрично отражая данный круг относительно этих прямых (в любом порядке конечное количество раз), можно было накрыть им любую заданную точку плоскости?

Прислать комментарий

Решение

Задача 73672

Темы:	[	Площадь треугольника не превосходит половины произведения двух сторон	]
	[	Перегруппировка площадей	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Теорема Птолемея	]
	[	Неравенства с площадями	]
	[	Площадь четырехугольника	]

Сложность: 5+
Классы: 8,9,10

Пусть a, b, c, d — длины четырёх последовательных сторон четырёхугольника, S — его площадь. Докажите неравенства:

а) S ≤ ab + cd;

б) S ≤ ac + bd.

в) Докажите, что если хотя бы в одном из этих неравенств достигается равенство, то четырёхугольник можно вписать в окружность.

Прислать комментарий Решение

Задача 110779

Темы:	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Ортогональная (прямоугольная) проекция	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Биссектриса угла	]
	[	Гомотетичные многоугольники	]

Сложность: 5+
Классы: 10

Автор: Заславский А.А.

Проекции точки X на стороны четырёхугольника ABCD лежат на одной окружности. Y – точка, симметричная X относительно центра этой окружности. Докажите, что проекции точки B на прямые AX, XC, CY, YA также лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

Задача 57037

Темы:	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Подобные фигуры	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Четырехугольники (прочее)	]

Сложность: 5+
Классы: 8,9,10

Из вершин выпуклого четырехугольника опущены перпендикуляры на диагонали. Докажите, что четырехугольник, образованный основаниями перпендикуляров, подобен исходному четырехугольнику.

Прислать комментарий Решение

Задача 56924

Темы:	[	Теоремы Чевы и Менелая	]
	[	Теорема синусов	]
	[	Свойства симметрий и осей симметрии	]
	[	Свойства биссектрис, конкуррентность	]
	[	Изогональное сопряжение	]

Сложность: 6
Классы: 9,10,11

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁, причем прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке P. Докажите, что прямые AA₂, BB₂ и CC₂, симметричные этим прямым относительно соответствующих биссектрис, тоже пересекаются в одной точке Q.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 87 88 89 90 91 92 93 >> [Всего задач: 563]