Страница:
<< 74 75 76 77
78 79 80 >> [Всего задач: 460]
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 9,10
|
Точка O – центр описанной окружности Ω остроугольного треугольника ABC. Описанная окружность ω треугольника AOC вторично пересекает стороны AB и BC в точках E и F. Оказалось, что прямая EF делит площадь треугольника ABC пополам. Найдите угол B.
а) Дан выпуклый многоугольник A1A2...An. На стороне A1A2 взяты точки B1 и D2, на стороне A2A3 – точки B2 и D3, ..., на стороне AnA1 – точки Bn и D1 так, что если построить параллелограммы A1B1C1D1, A2B2C2D2, ..., AnBnCnDn, то прямые A1C1, A2C2, ..., AnCn пересекутся в одной точке. Докажите равенство A1B1·A2B2·...·AnBn = A1D1·A2D2·...·AnDn.
б) Докажите, что для треугольника верно и обратное утверждение: если на стороне
A1A2 выбраны точки
B1 и
D2, на стороне
A2A3 – точки
B2 и
D3, а на стороне
A3A1 – точки
B3 и
D1 так, что
A1B1·
A2B2·
A3B3 =
A1D1·
A2D2·
A3D3, то, построив параллелограммы
A1B1C1D1,
A2B2C2D2 и
A3B3C3D3, получим прямые
A1C1,
A2C2 и
A3C3, пересекающиеся в одной точке.
Две окружности с центрами O и Q, пересекающиеся друг с другом в
точках A и B, пересекают биссектрису угла OAQ в точках C и D соответственно. Отрезки AD и OQ пересекаются в точке E, причём площади треугольников OAE и QAE равны 18 и 42 соответственно. Найдите площадь четырёхугольника OAQD и отношение BC : BD.
Две окружности с центрами O и Q, пересекающиеся друг с другом в
точках A и B, пересекают биссектрису угла OAQ в точках C и D соответственно. Отрезки OQ и AD пересекаются в точке E, причём площади треугольников OAE и QAE равны
49 и 21 соответственно. Найдите площадь четырёхугольника OAQD и
отношение BC : BD.
На стороне PQ треугольника PQR взята точка N, а на стороне
PR – точка L, причём NQ = LR. Точка A пересечения отрезков QL и NR делит отрезок QL в отношении m : n, считая от точки Q. Найдите отношение PN : PR.
Страница:
<< 74 75 76 77
78 79 80 >> [Всего задач: 460]
Фильтр
