Страница:
<< 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 222]
Ковбой Джимми поспорил с друзьями, что сумеет одним выстрелом пробить все
четыре лопасти вертилятора. (Вертилятор устроен следующим образом: на оси,
вращающейся со скоростью 50 об/сек, расположены на равных расстояниях друг от
друга четыре полудиска, повернутые друг относительно друга под какими-то углами).
Джимми может стрелять в любой момент и добиваться произвольной скорости пуль.
Доказать, что Джимми выиграет пари.
|
|
Сложность: 5+ Классы: 9,10,11
|
Четырехугольник $ABCD$, вписанный в окружность $\omega$, таков что $AD=BD=AC$. Точка $P$ движется по $\omega$. Прямые $AP$ и $DP$ пересекают прямые $CD$ и $AB$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Прямые $BE$ и $CF$ пересекаются в точке $Q$. Найдите геометрическое место точек $Q$.
|
|
Сложность: 5+ Классы: 8,9,10
|
Из вершин выпуклого четырехугольника опущены
перпендикуляры на диагонали. Докажите, что четырехугольник,
образованный основаниями перпендикуляров, подобен исходному
четырехугольнику.
|
|
Сложность: 6- Классы: 9,10,11
|
Выпуклый многоугольник обладает следующим свойством: если все прямые, на
которых лежат его стороны, параллельно перенести на расстояние 1 во внешнюю
сторону, то полученные прямые образуют многоугольник, подобный исходному,
причём параллельные стороны окажутся пропорциональными. Доказать, что в данный
многоугольник можно вписать окружность.
|
|
Сложность: 6- Классы: 9,10,11
|
Даны две окружности, касающиеся внутренним образом в
точке
N . Хорды
BA и
BC внешней окружности касаются
внутренней в точках
K и
M соответственно. Пусть
Q
и
P – середины дуг
AB и
BC , не содержащих точку
N . Окружности, описанные около треугольников
BQK и
BPM , пересекаются в точке
B1
. Докажите, что
BPB1
Q – параллелограмм.
Страница:
<< 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 222]