Страница:
<< 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 222]
|
|
Сложность: 6- Классы: 9,10,11
|
Проведем через основание биссектрисы угла
A разностороннего треугольника
ABC отличную от стороны
BC касательную к вписанной в
треугольник окружности. Точку ее касания с окружностью
обозначим через
Ka . Аналогично построим точки
Kb
и
Kc . Докажите, что три прямые, соединяющие точки
Ka ,
Kb и
Kc с серединами сторон
BC ,
CA и
AB соответственно,
имеют общую точку, причем эта точка лежит на вписанной окружности.
|
|
Сложность: 6+ Классы: 9,10,11
|
Дан выпуклый четырёхугольник
ABCD . Пусть
P и
Q – точки пересечения лучей
BA и
CD ,
BC и
AD соответственно, а
H – проекция
D на
PQ . Докажите, что четырёхугольник
ABCD является описанным тогда и только тогда, когда вписанные окружности треугольников
ADP и
CDQ видны из точки
H под равными углами.
Внутри квадрата ABCD взята точка M.
Доказать, что точки пересечения медиан треугольников ABM, BCM,
CDM, DAM образуют квадрат.
Чему равна сторона этого квадрата, если сторона исходного квадрата
равна 1?
Диагонали трапеции с основаниями AD и BC пересекаются в точке
O.
Докажите, что окружности, описанные около треугольников AOD и BOC касаются друг друга.
На стороне CB треугольника ABC взята точка M, а на стороне CA – точка P. Известно, что CP : CA = 2CM : CB. Через точку M проведена прямая, параллельная CA, а через P – прямая параллельная AB. Докажите, что построенные прямые пересекаются на медиане CN.
Страница:
<< 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 222]