Страница: << 16 17 18 19 20 21 22 >> [Всего задач: 230]      

В треугольнике ABC через середину M стороны BC и центр O вписанной в этот треугольник окружности проведена прямая MO, которая пересекает высоту AH в точке E. Докажите, что отрезок AE равен радиусу вписанной окружности.

Прислать комментарий

Решение

Пусть A' – точка касания вневписанной окружности треугольника ABC со стороной BC. Прямая a проходит через точку A' и параллельна биссектрисе внутреннего угла A. Аналогично строятся прямые b и c. Докажите, что прямые a, b и c пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

а) Каждую сторону четырёхугольника в процессе обхода по часовой стрелке продолжили на её длину. Оказалось, что новые концы построенных отрезков служат вершинами квадрата. Докажите, что исходный четырёхугольник – квадрат.

б) Докажите, что если в результате такой же процедуры из некоторого n-угольника получается правильный n-угольник, то исходный многоугольник – правильный.

Прислать комментарий

Решение

В данный сегмент вписываются всевозможные пары касающихся окружностей (рис.1). Для каждой пары окружностей через точку касания проводится касающаяся их прямая. Докажите, что все эти прямые проходят через одну точку.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что в любом треугольнике точка H пересечения высот (ортоцентр), центр O описанной окружности и точка M пересечения медиан (центр тяжести) лежат на одной прямой, причём точка M расположена между точками O и H, и MH = 2MO.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 16 17 18 19 20 21 22 >> [Всего задач: 230]