Каталог по темам

Задачи

Страница: << 113 114 115 116 117 118 119 >> [Всего задач: 912]

Задача 116325

Темы:	[	Сфера, вписанная в пирамиду	]
Темы:	[	Теорема о трех перпендикулярах	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Дана четырёхугольная пирамида, в которую можно вписать сферу, причём центр этой сферы лежит на высоте пирамиды. Докажите, что в основания пирамиды можно вписать окружность.

Прислать комментарий Решение

Задача 64984

Темы:	[	Тетраэдр (прочее)	]
	[	Перпендикулярные прямые в пространстве	]
	[	Перпендикулярность прямой и плоскости (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Автор: Акопян А.В.

Дано два тетраэдра A₁A₂A₃A₄ и B₁B₂B₃B₄. Рассмотрим шесть пар рёбер A_iA_j и B_kB_l, где (i, j, k, l) – перестановка чисел (1, 2, 3, 4) (например, A₁A₂ и B₃B₄). Известно, что во всех парах, кроме одной, рёбра перпендикулярны. Докажите, что в оставшейся паре рёбра тоже перпендикулярны.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65811

Темы:	[	Сфера, касающаяся ребер тетраэдра	]
	[	Неравенство треугольника (прочее)	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Касающиеся сферы	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Автор: Ивлев Ф.

Дан тетраэдр, в который можно вписать сферу, касающуюся всех его рёбер. Пусть отрезки касательных из вершин равны a, b, c и d. Всегда ли можно из этих четырёх отрезков сложить какой-нибудь треугольник? (Не обязательно использовать все отрезки. Разрешается образовывать сторону треугольника из двух отрезков.)

Прислать комментарий

Решение

Задача 87064

Темы:	[	Достроение тетраэдра до параллелепипеда	]
	[	Равногранный тетраэдр	]
	[	Ортогональная проекция (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Докажите, что все грани тетраэдра равны тогда и только тогда, когда они равновелики.

Прислать комментарий Решение

Задача 115881

Темы:	[	Четырехугольная пирамида	]
	[	Сфера, вписанная в пирамиду	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Нилов Ф.

Дана четырёхугольная пирамида, в которую можно вписать сферу. Точку касания этой сферы с основанием пирамиды спроектировали на рёбра основания. Докажите, что все проекции лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 113 114 115 116 117 118 119 >> [Всего задач: 912]