Страница: << 116 117 118 119 120 121 122 >> [Всего задач: 912]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 65051

Темы:   [ Правильный тетраэдр ] [ Движение помогает решить задачу ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

Три равных правильных тетраэдра имеют общий центр. Могут ли все грани многогранника, являющегося их пересечением, быть равны?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67319

Темы:   [ Равногранный тетраэдр ] [ Центр масс ] [ Ортогональная проекция (прочее) ] [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

В тетраэдре $ABCD$ скрещивающиеся рёбра попарно равны. Через середину отрезка $AH_A$, где $H_A$  – точка пересечения высот грани $BCD$, провели прямую $h_A$ перпендикулярно плоскости $BCD$. Аналогичным образом определили точки $H_B$, $H_C$, $H_D$ и построили прямые $h_B$, $h_C$, $h_D$ соответственно для трёх других граней тетраэдра. Докажите, что прямые $h_A$, $h_B$, $h_C$, $h_D$ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109556

Темы:   [ Сфера, вписанная в тетраэдр ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Правильный тетраэдр ] [ Признаки равенства прямоугольных треугольников ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

Высоты AA₁, BB₁, CC₁ и DD₁ тетраэдра ABCD пересекаются в центре H сферы, вписанной в тетраэдр A₁B₁C₁D₁.
Докажите, что тетраэдр ABCD – правильный.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109643

Темы:   [ Сфера, вписанная в тетраэдр ] [ Развертка помогает решить задачу ] [ Теорема о трех перпендикулярах ] [ Правильный тетраэдр ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Замечательные точки и линии в треугольнике (прочее) ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

Сфера, вписанная в тетраэдр, касается одной из его граней в точке пересечения биссектрис, другой – в точке пересечения высот, третьей – в точке пересечения медиан. Докажите, что тетраэдр правильный.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116230

Темы:   [ Тетраэдр (прочее) ] [ Ортогональная проекция (прочее) ]

Сложность: 5- Классы: 11

Рассматриваются ортогональные проекции данного правильного тетраэдра с единичным ребром на всевозможные плоскости. Какое наибольшее значение может принимать радиус круга, содержащегося в такой проекции?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 116 117 118 119 120 121 122 >> [Всего задач: 912]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями