Страница: << 32 33 34 35 36 37 38 >> [Всего задач: 260]      

Сфера радиуса вписана в четырёхугольную пирамиду SABCD , у которой основанием служит ромб ABCD , такой, что BAD = 120^o ; высота пирамиды проходит через точку K пересечения диагоналей ромба, а ребро SB наклонено к основанию под углом arctg 2 . Докажите, что существует единственная плоскость, пересекающая рёбра основания AB и AD в некоторых точках M и N таких, что MN = , касающаяся сферы в точке, удалённой на равные расстояния от точек M и N , и пересекающая продолжение отрезка SK за точку K в некоторой точке E . Найдите длину отрезка SE .

Прислать комментарий

Решение

В куб ABCDA1B1C1D1 со стороной 1 вписана сфера. Точка F расположена на продолжении ребра BB1 за точку B1 , причём FB1 = . Из точки F проведена касательная к сфере, пересекающая грань CC1D1D куба в точке E , Причём EFB1 = arccos . Найдите EF .

Прислать комментарий

Решение

Через вершину A тетраэдра ABCD проведена плоскость, касательная к описанной около него сфере. Докажите, что линии пересечения этой плоскости с плоскостями граней ABC, ACD и ABD образуют шесть равных углов тогда и только тогда, когда  AB·CD = AC·BD = AD·BC.

Прислать комментарий

Решение

Дан тетраэдр ABCD. Вписанная в него сфера σ касается грани ABC в точке T. Сфера σ' касается грани ABC в точке T' и продолжений граней ABD, BCD, CAD. Докажите, что прямые AT и AT' симметричны относительно биссектрисы угла BAC.

Прислать комментарий

Решение

В основании призмы лежит равносторонний треугольник ABC , боковые рёбра призмы AA1 , BB1 и CC1 перпендикулярны основанию. Сфера, радиус которой равен ребру основания призмы, касается плоскости A1B1C1 и продолжений отрезков AB1 , BC1 и CA1 за точки B1 , C1 и A1 соответственно. Найдите стороны основания призмы, если известно, что боковые рёбра равны 1.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 32 33 34 35 36 37 38 >> [Всего задач: 260]