Версия для печати
Убрать все задачи
Существует ли такая бесконечная периодическая последовательность, состоящая из букв a и b, что при одновременной замене всех букв a на
aba и букв b на bba она переходит в себя (возможно, со сдвигом)?
Решение
Пусть an – число решений уравнения x1 + ... + xk = n в целых неотрицательных числах и F(x) – производящая функция последовательности an.
а) Докажите равенства: F(x) = (1 + x + x² + ...)k = (1 – x)–k.
б) Найдите формулу для an, пользуясь
задачей 61490.
Решение
Докажите, что для всех неотрицательных n выполняются равенства
а) 
б) 
Решение
Докажите
тождество:
| (1 + x + x2 +...+ x9)(1 + x10 + x20 +...+ x90)× |
×(1 + x100 + x200 +...+ x900)...=  . |
Решение
Вычислите производящие функции следующих последовательностей:
а) 
б) 
Решение
В треугольнике ABC взята такая точка O, что ∠COA = ∠B + 60°, ∠COB = ∠A + 60°, AOB = ∠C + 60°. Докажите, что если из отрезков AO, BO и CO можно составить треугольник, то из высот треугольника ABC тоже можно составить треугольник и эти треугольники подобны.
Решение
Найдите все такие натуральные n, что при некоторых различных
натуральных a, b, c и d среди чисел
есть по крайней мере два числа, равных
n.
Решение
Фильтр
