ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 127]      



Задача 73642

Темы:   [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]
[ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
[ Выпуклые многоугольники ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

а) Дан выпуклый многоугольник A1A2...An. На стороне A1A2 взяты точки B1 и D2, на стороне A2A3 – точки B2 и D3, ..., на стороне AnA1 – точки Bn и D1 так, что если построить параллелограммы A1B1C1D1, A2B2C2D2, ..., AnBnCnDn, то прямые A1C1, A2C2, ..., AnCn пересекутся в одной точке. Докажите равенство  A1B1·A2B2·...·AnBn = A1D1·A2D2·...·AnDn.

б) Докажите, что для треугольника верно и обратное утверждение: если на стороне A1A2 выбраны точки B1 и D2, на стороне A2A3 – точки B2 и D3, а на стороне A3A1 – точки B3 и D1 так, что  A1B1·A2B2·A3B3 = A1D1·A2D2· A3D3,  то, построив параллелограммы A1B1C1D1, A2B2C2D2 и A3B3C3D3, получим прямые A1C1, A2C2 и A3C3, пересекающиеся в одной точке.

Прислать комментарий     Решение

Задача 87082

Темы:   [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Сфера, касающаяся ребер тетраэдра ]
[ Центр масс ]
[ Прямые и плоскости в пространстве (прочее) ]
[ Теоремы Чевы и Менелая ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

Сфера касается всех рёбер тетраэдра. Соединим точки касания на парах несмежных ребер.
Докажите, что три полученные прямые пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий     Решение

Задача 98584

Темы:   [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

Дан некоторый угол и точка A внутри него. Можно ли провести через точку A три прямые (не проходящие через вершину угла) так, чтобы на каждой из сторон угла одна из точек пересечения этих прямых со стороной лежала посередине между двумя другими точками пересечения прямых с этой же стороной?

Прислать комментарий     Решение

Задача 108179

Темы:   [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]
[ Пересекающиеся окружности ]
[ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

Окружности S1 и S2 пересекаются в точках M и N. Докажите, что если вершины A и C некоторого прямоугольника ABCD лежат на окружности S1, а вершины B и D – на окружности S2, то точка пересечения диагоналей прямоугольника лежит на прямой MN.

Прислать комментарий     Решение

Задача 108244

Темы:   [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Свойства серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. ]
[ Свойства симметрий и осей симметрии ]
[ Свойства биссектрис, конкуррентность ]
[ Биссектриса угла ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Сонкин М.

Биссектрисы AD и CE треугольника ABC пересекаются в точке O. Прямая, симметричная AB относительно CE, пересекает прямую, симметричную BC относительно AD, в точке K. Докажите, что  KOAC.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 127]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .