Версия для печати
Убрать все задачи

---

Найдётся ли такое десятизначное число, записанное десятью различными цифрами, что после вычеркивания из него любых шести цифр получится составное четырёхзначное число?

   Решение

---

Выпуклые четырёхугольники ABCD и PQRS вырезаны соответственно из бумаги и картона. Будем говорить, что они подходят друг к другу, если выполняются два условия:
    1) картонный четырёхугольник можно наложить на бумажный так, что его вершины попадут на стороны бумажного, по одной вершине на каждую сторону;
    2) если после этого перегнуть четыре образовавшихся маленьких бумажных треугольника на картонный, то они закроют весь картонный четырёхугольник в один слой.
  а) Докажите, что, если четырёхугольники подходят друг к другу, то у бумажного либо две противоположные стороны параллельны,
либо диагонали перпендикулярны.
  б) Докажите, что если ABCD – параллелограмм, то можно сделать подходящий к нему картонный четырёхугольник.

   Решение

---

В кооперативе из 11 человек имеется партячейка. На каждом собрании ячейки происходит либо приём одного члена в партию, либо исключение из партии одного человека. В партячейке не может быть меньше трёх человек. Возвращаться к какому-либо из прежних составов партячейки запрещено уставом. Может ли к какому-то моменту оказаться, что все варианты состава ячейки реализованы?

 

   Решение

---

Учащиеся одной школы часто собираются группами и ходят в кафе-мороженое. После такого посещения они ссорятся настолько, что никакие двое из них после этого вместе мороженое не едят. К концу года выяснилось, что в дальнейшем они могут ходить в кафе-мороженое только поодиночке. Докажите, что если число посещений было к этому времени больше 1, то оно не меньше числа учащихся в школе.

   Решение

---

Учитель выбрал 10 подряд идущих натуральных чисел и сообщил их Пете и Васе. Каждый мальчик должен разбить эти 10 чисел на пары, подсчитать произведение чисел в каждой паре, а затем сложить полученные пять произведений. Докажите, что мальчики могут сделать это так, чтобы разбиения на пары у них не были одинаковыми, но итоговые суммы совпадали.

   Решение

---

Дан правильный треугольник ABC с центром O. Прямая, проходящая через вершину C, пересекает описанную окружность треугольника AOB в точках D и E. Докажите, что точки A, O и середины отрезков BD, BE лежат на одной окружности.

   Решение

---

На сторонах треугольника ABC построены три подобных треугольника: YBA и ZAC – во внешнюю сторону, а XBC – внутрь (соответственные вершины перечисляются в одинаковом порядке). Докажите, что AYXZ – параллелограмм.

   Решение

---

На столе лежат 2023 игральных кубика. За 1 рубль можно выбрать любой кубик и переставить его на любую из четырёх граней, которые сейчас для него боковые. За какое наименьшее количество рублей гарантированно удастся поставить все кубики так, чтобы на верхних гранях у них было поровну точек? (Количества точек на гранях каждого игрального кубика равны числам 1, 2, 3, 4, 5, 6, суммарное число точек на противоположных гранях всегда равно 7.)

   Решение

---

Полоска 1×10 разбита на единичные квадраты. В квадраты записывают числа 1, 2, ..., 10. Сначала в один какой-нибудь квадрат записывают число 1, затем число 2 записывают в один из соседних квадратов, затем число 3 – в один из соседних с уже занятыми и т. д. (произвольными являются выбор первого квадрата и выбор соседа на каждом шагу). Сколькими способами это можно проделать?

   Решение

---

Докажите, что из шести ребер тетраэдра можно сложить два треугольника.

   Решение

---

Один угол треугольника равен 60°, а лежащая против этого угла сторона равна трети периметра треугольника.
Докажите, что данный треугольник равносторонний.

   Решение

---

При каком натуральном K величина     достигает максимального значения?

   Решение

---

Найдите какие-нибудь пять натуральных чисел, разность каждых двух из которых равна наибольшему общему делителю этой пары чисел.

   Решение

---

Мама испекла одинаковые с виду пирожки: 7 с капустой, 7 с мясом и один с вишней, и выложила их по кругу на круглое блюдо именно в таком порядке. Потом поставила блюдо в микроволновку подогреть. Оля знает, как лежали пирожки, но не знает, как повернулось блюдо. Она хочет съесть пирожок с вишней, а остальные считает невкусными. Как Оле наверняка добиться этого, надкусив не больше трёх невкусных пирожков?

   Решение

---

В треугольнике ABC угол C прямой. На катете CB как на диаметре во внешнюю сторону построена полуокружность, точка N – середина этой полуокружности. Докажите, что прямая AN делит пополам биссектрису CL.

   Решение

---

Дан отрезок AB. Найдите на плоскости множество таких точек C, что медиана треугольника ABC, проведённая из вершины A, равна высоте, проведённой из вершины B.

   Решение

---

Шахматная фигура может сдвигаться на 8 или 9 клеток по горизонтали или вертикали. Запрещается ходить на одну и ту же клетку дважды.
Какое наибольшее количество клеток может обойти эта фигура на доске 15×15? (Начать обход разрешается с любой клетки.)

   Решение

---

Во время бала каждый юноша танцевал вальс с девушкой либо более красивой, чем на предыдущем танце, либо более умной, но большинство (не меньше 80%) – с девушкой одновременно более красивой и более умной. Могло ли такое быть? (Юношей и девушек на балу было поровну.)

   Решение

---

Дана сфера радиуса 1. На ней расположены равные окружности γ₀, γ₁, ..., γ_n радиуса r (n ≥ 3). Окружность γ₀ касается всех окружностей γ₁, ..., γ_n; кроме того, касаются друг друга окружности γ₁ и γ₂, γ₂ и γ₃, ..., γ_n и γ₁. При каких n это возможно? Вычислите соответствующий радиус r.

   Решение

Темы:    [ Окружности на сфере ] [ Касающиеся окружности ] [ Правильная пирамида ] [ Многогранные углы ] [ Неравенства с трехгранными углами ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 7 Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Дана сфера радиуса 1. На ней расположены равные окружности γ₀, γ₁, ..., γ_n радиуса r (n ≥ 3). Окружность γ₀ касается всех окружностей γ₁, ..., γ_n; кроме того, касаются друг друга окружности γ₁ и γ₂, γ₂ и γ₃, ..., γ_n и γ₁. При каких n это возможно? Вычислите соответствующий радиус r.

Решение

Каждой окружности на сфере можно сопоставить ее "центр на сфере"– конец радиуса сферы, проходящего через центр окружности (никогда не лежащий на сфере). Эту точку мы будем называть "центром" окружности в кавычках, подчеркивающих, что это не "обычный" центр (рис. 1 а ).
Заметим для точности, что такого определенного "центра" нет у окружностей больших кругов сферы, у которых центр совпадает с центром сферы. Но окружности, о которых идет речь в условии задачи, заведомо не могут иметь радиус 1, потому что окружности двух больших кругов не могут друг друга касаться, они всегда пересекают друг друга в двух диаметрально противоположных точках сферы.

Точка касания двух окружностей, расположенных на сфере (см. рис. 1 б ), лежит в плоскости P, проходящей через центры окружностей и центр сферы. Действительно, обе окружности симметричны относительно плоскости P , и если бы они имели общую точку по одну сторону плоскости P , то должны были бы иметь и симметричную ей общую точку по другую сторону P , а у них всего одна общая точка. Если эти окружности имеют один и тот же радиус r , то расстояние между их "центрами" равно 2r , потому что на окружности большого круга, получающейся в переселении сферы и плоскости P (рис. 1 в ), диаметры наших окружностей (черные отрезки) и отрезок, соединяющий их "центры" (красный), стягивают равные дуги.

Пусть A₀, A₁, A₂, ..., A_n – "центры" окружностей γ₀, γ₁, ...,γ_n , окоторых идет речь в условии задачи.
Тогда A₀ A₁=A₀ A₂=...=A₀ A_n=A₁ A₂=A₂ A₃=...=A_n A₁ 2r , другими словами, A₀ A₁ A₂ ... A_n – вписанная в данную сферу радиуса 1 правильная n-угольная пирамида с вершиной A₀ , у которой все боковые грани – равносторонние треугольники со сторонами, равными 2r.
Итак, достаточно построить пирамиду, для которой выполнены эти условия, тогда точки A₀ , A₁ , ... , A_n будут определять окружности радиуса r с "центрами" A₀ , A₁ , ... , A_n , которые, очевидно, удовлетворяют условию задачи.
Поскольку сумма плоских углов выпуклого n-гранного угла с вершиной A₀ меньше 360°:
n · 60° = A₁ A₀ A₂+ A₂ A₀ A₃+...+ A_n A₀ A₁ < 360°, то n < 6. Для n = 3, 4 и 5 нетрудно построить нужные пирамиды.
Пусть O – центр сферы. Высота пирамиды h и длина ее ребер 2r находятся из следующих соображений: радиус KA₁ основания пирамиды – катет Δ A₀ KA₁ и боковая сторона Δ A₁ KA₂, где A₁ KA₂=2π/n (рис. 2 a, б),
= r. Из Δ A₀OA₁ имеем r = . Отсюда h = 2r² , r = . Таким образом,
(формулу sin = можно вывести из рис.3, с помощью которого строятся правильный десятиугольник и правильный пятиугольник):
Зная r и h, мы можем построить правильные пирамиды, которые в силу приведенных соотношений будут удовлетворять вcем нужным условиям: все грани – равносторонние треугольники со стороной 2r , радиус описанной сферы – 1.
Построенные пирамиды тесно связаны с правильными многогранниками, грани которых – треугольники. Таких многогранников всего три: тетраэдр, октаэдр и икосаэдр (рис.4), и если от каждого из этих многогранников отрезать "верхушку" – все грани, примыкающие к одной вершине, – то получатся как раз такие три пирамиды, которыми мы занимались. Подробнее о правильных многогранниках и о построении пятиугольника можно прочитать в прекрасной книге Г.С.Кокстера "Введение в геометрию" ("Наука", 1966, гл.10 "Пять Платоновых тел" и гл.11 "Золотое сечение и филлотаксис").

Заметим еще, что ограничение n 3 в условии задачи вполне можно было бы заменить на n 2 . Соответствующее расположение трех окружностей γ0, γ1, γ2 существует (рис.5; "центры" окружностей расположены о вершинах правильного треугольника, вписанного в больший круг), и для вычисления r, как это ни странно, годится та же формула, которую мы доказали для 3 n 5 r = =.

Ответ

n=3, 4 и 5.

Источники и прецеденты использования