Processing math: 100%
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Выбрано 29 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Внутри треугольника ABC взята такая точка O, что  ∠ABO = ∠CAO,  ∠BAO = ∠BCO,  ∠BOC = 90°.  Найдите отношение  AC : OC.

Вниз   Решение


Восстановите треугольник ABC по прямым lb и lc, содержащим биссектрисы углов B и C, и основанию биссектрисы угла A – точке L1.

ВверхВниз   Решение


Улитке нужно забраться на дерево высотой 10 метров. За день она поднимается на 4 метра, а за ночь сползает на 3.
Когда она доползет до цели, если стартовала улитка утром в понедельник?

ВверхВниз   Решение


Остроугольный треугольник ABC  (AB < AC)  вписан в окружность Ω. Пусть M – точка пересечения его медиан, а AH – высота. Луч MH пересекает Ω в точке A'. Докажите, что описанная окружность треугольника A'HB касается прямой AB.

ВверхВниз   Решение


Автор: Ивлев Б.М.

Каждая из девяти прямых разбивает квадрат на два четырёхугольника, площади которых относятся как 2 : 3. Докажите, что по крайней мере три из этих девяти прямых проходят через одну точку.

ВверхВниз   Решение


Автор: Ивлев Б.М.

Для любого натурального числа n существует составленное из цифр 1 и 2 число, делящееся на 2n. Докажите это.
(Например, на 2 делится 2, на 4 делится 12, на 8 делится 112, на 16 делится 2112...)

ВверхВниз   Решение


Автор: Mahdi Etesami Fard

Ортоцентр H треугольника ABC лежит на вписанной в треугольник окружности.
Докажите, что три окружности с центрами A, B, C, проходящие через H, имеют общую касательную.

ВверхВниз   Решение


Биссектрисы AA1,BB1,CC1 треугольника ABC пересекаются в точке I. Серединный перпендикуляр к отрезку BB1 пересекает прямые AA1, CC1 в точках A0, C0. Докажите, что описанные окружности треугольников A0IC0 и ABC касаются.

ВверхВниз   Решение


Марина купила тур в Банановую страну с 5 по 22 октября. Ввозить и вывозить бананы через границу запрещено. Банановый король в начале каждого месяца издаёт указ о ценах. Цена одного банана в местной валюте на нужные числа октября приведена в таблице:

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
8,1 8 7 8,1 9 8 8,1 7,2 7 8 9 8,1 9 8 9 8,2 7 7,1

Марина хочет ежедневно съедать по одному банану. Она любит только зелёные бананы, поэтому согласна съесть банан только в течение 4 дней после покупки. Например, банан, купленный 5 октября, Марина согласна съесть 5, 6, 7 или 8 октября. Марина может запасаться бананами, когда они подешевле.

В какие дни по сколько бананов надо покупать Марине, чтобы потратить как можно меньше денег?

ВверхВниз   Решение


Автор: Ильясов С.

В треугольник ABC вписана окружность ω с центром в точке I. Около треугольника AIB описана окружность Г. Окружности ω и Г пересекаются в точках X и Y. Общие касательные к окружностям ω и Г пересекаются в точке Z. Докажите, что описанные окружности треугольников ABC и XYZ, касаются.

ВверхВниз   Решение


Автор: Золотых А.

Каждая сторона треугольника разделена на три равные части. Точки деления служат вершинами двух треугольников, пересечение которых – шестиугольник. Найдите площадь этого шестиугольника, если площадь данного треугольника равна S.

ВверхВниз   Решение


Автор: Mahdi Etesami Fard

Окружность ω, вписанная в треугольник ABC, касается сторон BC, CA и AB в точках D, E и F соответственно. Перпендикуляр из E на DF пересекает прямую BC в точке X, а перпендикуляр из F на DE пересекает BC в точке Y. Отрезок AD пересекает ω во второй раз в точке Z. Докажите, что описанная окружность треугольника XYZ касается ω.

ВверхВниз   Решение


Автор: Панов М.Ю.

В треугольнике ABC провели биссектрису CL. Серединный перпендикуляр к стороне AC пересекает отрезок CL в точке K.
Докажите, что описанные окружности треугольников ABC и AKL касаются.

ВверхВниз   Решение


Автор: Нетай И.В.

Сто мудрецов хотят проехать на электричке из 12 вагонов от первой до 76-й станции. Они знают, что на первой станции в два вагона электрички сядут два контролёра. После четвёртой станции на каждом перегоне один из контролёров будет переходить в соседний вагон, причём они "ходят" по очереди. Мудрец видит контролёра, только если он в соседнем вагоне или через вагон. На каждой станции каждый мудрец может перебежать по платформе не далее чем на три вагона (например, из 7-го вагона мудрец может добежать до любого вагона с номером от 4 до 10 и сесть в него). Какое максимальное число мудрецов сможет ни разу не оказаться в одном вагоне с контролёром, как бы контролёры ни перемещались? (Никакой информации о контролёрах, кроме указанной в задаче, мудрец не получает. Мудрецы договариваются о стратегии заранее.)

ВверхВниз   Решение


Автор: Mahdi Etesami Fard

Окружность ω1 проходит через вершину A параллелограмма ABCD и касается лучей CB, CD. Окружность ω2 касается лучей AB, AD и касается внешним образом ω1 в точке T. Докажите, что T лежит на диагонали AC.

ВверхВниз   Решение


В параллелограмме ABCD на диагонали AC взята точка E, причём  AE : EC = 1 : 3,  а на стороне AD взята такая точка F, что  AF : FD = 1 : 2.  Найдите площадь четырёхугольника ABGE, где G – точка пересечения прямой FE со стороной BC, если известно, что площадь параллелограмма ABCD равна 24.

ВверхВниз   Решение


Дано натуральное число N. Вера делает с ним следующие операции: сначала прибавляет 3 до тех пор, пока получившееся число не станет делиться на 5 (если изначально N делится на 5, то ничего прибавлять не надо). Получившееся число Вера делит на 5. Далее делает эти же операции с новым числом, и так далее. Из каких чисел такими операциями нельзя получить 1?

ВверхВниз   Решение


Автор: Фомин С.В.

Среди десятизначных чисел каких больше: тех, которые можно представить как произведение двух пятизначных чисел, или тех, которые нельзя так представить?

ВверхВниз   Решение


Автор: Тимохин М.

Продолжения боковых сторон трапеции ABCD пересекаются в точке P, а её диагонали – в точке Q. Точка M на меньшем основании BC такова, что  AM = MD.  Докажите, что  ∠PMB = ∠QMB.

ВверхВниз   Решение


Автор: Фомин С.В.

Имеется два трёхлитровых сосуда. В одном 1 л воды, в другом – 1 л двухпроцентного раствора поваренной соли. Разрешается переливать любую часть жидкости из одного сосуда в другой, после чего перемешивать. Можно ли за несколько таких переливаний получить полуторапроцентный раствор в том сосуде, в котором вначале была вода?

ВверхВниз   Решение


Про три положительных числа известно, что если выбрать одно из них и прибавить к нему сумму квадратов двух других, то получится одна и та же сумма, независимо от выбранного числа. Верно ли, что все числа равны?

ВверхВниз   Решение


Миша сложил из кубиков куб 3×3×3. Затем некоторые соседние по грани кубики он склеил друг с другом. Получилась цельная конструкция из 16 кубиков, остальные кубики Миша убрал. Обмакнув конструкцию в чернила, он поочерёдно приложил её к бумаге тремя гранями. Вышло слово КОТ (см. рис.). Что получится, если отпечатать грань, противоположную букве "О"?

ВверхВниз   Решение


Автор: Пойа Дж.

В любой арифметической прогрессии  a,  a + d,  a + 2d,  ...,  a + nd,  ...,  составленной из натуральных чисел, есть бесконечно много членов, в разложении которых на простые множители входят в точности одни и те же простые числа. Докажите это.

ВверхВниз   Решение


Автор: Хомодов А.

а) Докажите, что в любом многоугольнике, кроме треугольника, есть хотя бы одна диагональ, целиком лежащая внутри него.
б) Выясните, какое наименьшее число таких диагоналей может иметь n-угольник.

ВверхВниз   Решение


К описанной окружности треугольника ABC проведены касательные в точках B и C. Лучи CC1, BB1, где B1 и C1 – середины сторон AC и AB, пересекают эти касательные в точках K и L соответственно. Докажите, что BAK=CAL.

ВверхВниз   Решение


Автор: Фомин С.В.

Дано 27 кубиков одинакового размера: 9 красных, 9 синих и 9 белых. Можно ли сложить из них куб таким образом, чтобы каждый столбик из трёх кубиков содержал кубики ровно двух цветов? (Рассматриваются столбики, параллельные всем ребрам куба, всего 27 столбиков.)

ВверхВниз   Решение


На стороне AB квадрата ABCD вне его построен равнобедренный треугольник ABE (AE=BE). Пусть M – середина AE, O – точка пересечения AC и BD, K – точка пересечения ED и OM. Докажите, что EK=KO.

ВверхВниз   Решение


Автор: Фомин С.В.

Имеется 68 монет, причём известно, что любые две монеты различаются по весу.
За 100 взвешиваний на двухчашечных весах без гирь найти самую тяжелую и самую лёгкую монеты.

ВверхВниз   Решение


  а) В ведро налили 12 литров молока. Пользуясь лишь сосудами в 5 и 7 л, разделите молоко на две равные части.
  б) Решите общую задачу: при каких a и b можно разделить пополам  a + b  литров молока, пользуясь лишь сосудами в a литров, b литров и  a + b  литров?
За одно переливание из одного сосуда в другой можно вылить всё, что там есть, или долить второй сосуд до верха.

Вверх   Решение

Задача 73664
Темы:    [ Уравнения в целых числах ]
[ Алгоритм Евклида ]
[ Принцип крайнего ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
Из корзины
Прислать комментарий

Условие

  а) В ведро налили 12 литров молока. Пользуясь лишь сосудами в 5 и 7 л, разделите молоко на две равные части.
  б) Решите общую задачу: при каких a и b можно разделить пополам  a + b  литров молока, пользуясь лишь сосудами в a литров, b литров и  a + b  литров?
За одно переливание из одного сосуда в другой можно вылить всё, что там есть, или долить второй сосуд до верха.


Решение

  а) См. таблицу:

  б) Пусть  a ≥ b.  Назовём сосуд ёмкостью в  a + b  литров резервуаром, сосуд ёмкостью в a литров – первым сосудом, а сосуд ёмкостью в b литров – вторым сосудом. Докажем, что c литров можно получить тогда и только тогда, когда  c = ma + lb,  где m и l – целые числа,  0 ≤ c ≤ a .  (Если a и b – целые числа, то c литров можно получить тогда и только тогда, когда  0 ≤ c ≤ a  и c делится на  НОД(a, b)  – см. задачу 69489.
  Обозначим через dk "остаток" от деления ka на b  (k = 1, 2, 3, ...):  dk = ka – lkb,  0 ≤ dk < b.
  Нам достаточно доказать, что можно получить dm литров. Действительно, поскольку  dm = ma – lmb  – наименьшее неотрицательное число вида  ma + lb,  где l – целое, то, добавляя к dm еще  l + lm  порций по b литров, мы сможем получить нужное количество с  ma + lb  литров. Как получить dm литров, ясно из таблиц 2 (для m > 0)  и 3 (для  m < 0).

  Докажем теперь, что v литров можно получить только тогда, когда v = ma + lb.  Действительно, пусть после нескольких переливаний в первом сосуде оказалось  v1 = m1a + l1b  литров, а во втором – v2 = m2a + l2b  литров. (На самом деле один из сосудов либо пуст, либо полон, но мы этим не воспользуемся.) Тогда, как бы мы ни организовывали следующее переливание, число литров в каждом из сосудов будет равно  ma + lb.  В случае, когда используется резервуар, это очевидно, остальные случаи собраны в таблице 4.
  Из доказанного следует, что с помощью переливаний можно получить  ½ (a + b)  литров тогда и только тогда, когда  ½ (a + b) = ma + lb,  откуда
(2m – 1)a + (2l – 1)b = 0,  или  


Ответ

Если a/b рационально, причём числитель и знаменатель соответствующей несократимой дроби нечётны.

Замечания

  1. Если a и b – целые числа, то решение можно упростить; например, не нужно отдельно рассматривать случаи  m > 0  и  m < 0.

  2. Таблицы, указывающие порядок переливаний, удобно интерпретировать геометрически.

  Рис. 1. Ситуации, когда в первом сосуде x литров, а во втором – y литров, сопоставляется точка с координатами  (x, y),  а последовательность переливаний изображена красными и голубыми стрелочками – красные означают переливания из одного сосуда в другой, а голубые – переливания с использованием резервуара. Рис. слева соответствует табл. 1 и 2, рис. справа – табл. 3.
  Рис. 2. Если разрезать изображенную здесь плоскость на прямоугольники a×b (по чёрным линиям) и сложить стопкой все прямоугольники, содержащие отрезки красного луча, идущего вправо вниз (или влево вверх), то получится правый (левый) рис. 1 (голубые отрезки возникают в местах разрезов).

Источники и прецеденты использования

журнал
Название "Квант"
год
Год 1972
выпуск
Номер 2
Задача
Номер М129

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .