Версия для печати
Убрать все задачи

---

Существует ли треугольник со сторонами a = 7 и b = 2, если известно, что высота, опущенная на третью сторону этого треугольника, является средним геометрическим двух других высот?

   Решение

---

Докажите, что если среди полученных фигур есть p-звенная и q-звенная, то p + qn + 4.

   Решение

---

К натуральному числу  a > 1  приписали это же число и получили число b, кратное a². Найдите все возможные значения числа  ^b/_a².

   Решение

---

Петя записал несколько алгебраических выражений, возвёл каждое из них в квадрат и сложил результаты.
Могло ли у него в итоге получиться выражение  x² + y² + z² + 3y + 4x + xz + 1?

   Решение

---

Гриша записал на доске 100 чисел. Затем он увеличил каждое число на 1 и заметил, что произведение всех 100 чисел не изменилось. Он опять увеличил каждое число на 1, и снова произведение всех чисел не изменилось, и так далее. Всего Гриша повторил эту процедуру k раз, и все k раз произведение чисел не менялось. Найдите наибольшее возможное значение k.

   Решение

---

Найдите натуральное число вида  n = 2^x3^y5^z,  зная, что половина его имеет на 30 делителей меньше, треть – на 35 и пятая часть – на 42 делителя меньше, чем само число.

   Решение

---

Продолжения сторон AB и CD выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке K. Известно, что  AD = BC.  Пусть M и N – середины сторон AB и CD. Докажите, что треугольник MNK тупоугольный.

   Решение

---

Даны две точки A и B. Две окружности касаются прямой AB (одна — в точке A, другая — в точке B) и касаются друг друга в точке M. Найдите ГМТ M.

   Решение

---

  а) Прямоугольная таблица из m строк и n столбцов заполнена числами. Переставим числа в каждой строке в порядке возрастания. Если после этого переставить числа в каждом столбце в порядке возрастания, то в каждой строке они по-прежнему будут стоять в порядке возрастания. Докажите это.
  б) Что будет, если действовать в другом порядке: в первоначальной таблице сначала переставить числа по возрастанию в столбцах, а потом – в строках: получится ли в результате та же самая таблица, что и в первом случае, или другая?

   Решение

---

Окружность, вписанная в треугольник, точкой касания делит одну из сторон на отрезки, равные 3 и 4, а противолежащий этой стороне угол равен 120^o . Найдите площадь треугольника.

   Решение

---

Даны непересекающиеся хорды AB и CD окружности. Постройте точку X окружности так, чтобы хорды AX и BX высекали на хорде CD отрезок EF, имеющий данную длину a.

   Решение

---

Основание пирамиды – треугольник со сторонами 10, 13, 13. Площади боковых граней соответственно равны 150, 195, 195. Найдите высоту пирамиды.

   Решение

---

В квадрате ABCD площади 1 сторона AD продолжена за точку D и на продолжении взята точка O,  OD = 3.  Из точки O проведены два луча. Первый пересекает отрезок CD в точке M и отрезок AB в точке N, второй пересекает отрезок CD в точке L и отрезок BC в точке K,  ON = a,  ∠BKL = α.  Найдите площадь многоугольника BKLMN.

   Решение

---

В прямоугольном треугольнике катеты равны 75 и 100. На отрезках гипотенузы, образуемых основанием высоты, построены полуокружности по одну сторону с данным треугольником. Найдите отрезки катетов, заключённые внутри полукругов.

   Решение

---

В маленьком городе только одна трамвайная линия. Она кольцевая, и трамваи ходят по ней в обоих направлениях. На кольце есть остановки Цирк, Парк и Зоопарк. От Парка до Зоопарка путь на трамвае через Цирк втрое длиннее, чем не через Цирк. От Цирка до Зоопарка путь через Парк вдвое короче, чем не через Парк. Какой путь от Парка до Цирка – через Зоопарк или не через Зоопарк – короче и во сколько раз?

   Решение

---

Шахматная фигура может сдвигаться на 8 или 9 клеток по горизонтали или вертикали. Запрещается ходить на одну и ту же клетку дважды.
Какое наибольшее количество клеток может обойти эта фигура на доске 15×15? (Начать обход разрешается с любой клетки.)

   Решение

---

Из вершины C прямого угла прямоугольного треугольника ABC проведена высота CD, и в треугольники ACD и BCD вписаны окружности с центрами P и Q. Общая внешняя касательная к этим окружностям пересекает катеты AC и BC в точках M и N, а высоту CD — в точке K. Докажите, что:

а) треугольники CMN и CBA подобны;

б) точки C, M, N, P и Q лежат на окружности с центром K, радиус которой равен радиусу вписанной окружности треугольника ABC.

   Решение

---

Точка O, лежащая внутри выпуклого многоугольника, образует с каждыми двумя его вершинами равнобедренный треугольник. Докажите, что точка O равноудалена от вершин этого многоугольника.

   Решение

---

Можно ли подобрать такие два натуральных числа X и Y, что Y получается из X перестановкой цифр, и  X + Y = 9...9  (1111 девяток)?

   Решение

---

Четыре пересекающиеся прямые образуют четыре треугольника. Докажите, что четыре окружности, описанные около этих треугольников, имеют одну общую точку.

   Решение

---

Основание пирамиды – квадрат. Две боковые грани перпендикулярны плоскости основания, а две другие наклонены к ней под углом 45^o . Среднее по величине боковое ребро равно l . Найдите объём и полную поверхность пирамиды.

   Решение

Темы:    [ Перпендикулярные плоскости ] [ Объем тетраэдра и пирамиды ] [ Боковая поверхность тетраэдра и пирамиды ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Основание пирамиды – квадрат. Две боковые грани перпендикулярны плоскости основания, а две другие наклонены к ней под углом 45^o . Среднее по величине боковое ребро равно l . Найдите объём и полную поверхность пирамиды.

Решение

Пусть PABCD – четырёхугольная пирамида, основание которой – квадрат ABCD . Докажем, что две противоположные боковые грани такой пирамиды не могут быть перпендикулярными плоскости основания. Предположим, что плоскости граней PAB и PCD перпендикулярны плоскости квадрата ABCD . Тогда каждая из них проходит через прямую, перпендикулярную плоскости основания. Поскольку две прямые, перпендикулярные одной плоскости, параллельны, получим, что две пересекающиеся прямые одной плоскости (указанный перпендикуляр и прямая AB ) соответственно параллельны двум пересекающимся прямым второй плоскости (второй из указанных перпендикуляров и прямая CD ). Значит, эти плоскости параллельны, что противоречит условию (плоскости боковых граней имеют общую точку P ). Аналогично докажем, что плоскости боковых граней PAD и PBC не могут быть перпендикулярными к плоскости основания пирамиды. Таким образом, плоскости основания перпендикулярны две соседние боковые грани. Пусть это грани PAB и PAD . Тогда прямая AP их пересечения перпендикулярна плоскости основания, т.е. AP – высота пирамиды PABCD . Тогда AB и AD – ортогональные проекции наклонных PB и PD на плоскость основания. Так как AB BC и AD CD , то по теореме о трёх перпендикулярах PB BC и PD CD . Значит, ABP и ADP – линейные углы двугранных углов, образованных плоскостями боковых граней PBC и PDC с плоскостью основания. По условию задачи

ABP = ADP = 45^o.
Поскольку PB и PD – гипотенузы равных прямоугольных треугольников APB и APD , PD = PB > AP , а т.к. PC – гипотенуза прямоугольного треугольника BPC , то PB < CP . Значит, PB и PD – средние по величине боковые рёбра данной пирамиды. По условию задачи PB = PD = l . Из прямоугольного треугольника APB находим, что
AB = BP cos 45^o = , AP = AB = .
Пусть V – объём пирамиды, S – её полная поверхность. Тогда
V = S_ABCD· AP = AB2· AP = · · = ,

S = S_ABCD + 2S_{Δ APB} + 2S_{Δ BPC} =

= AB2 + AB· AP + BC· PB = + + = l2(1 + ).

Ответ

; l2(1 + ) .

Источники и прецеденты использования