Выбрано 26 задач 
Убрать все задачи
Остроугольный треугольник ABC вписан в окружность Ω. Касательные, проведённые к Ω в точках B и C, пересекаются в точке P. Точки D и E – основания перпендикуляров, опущенных из точки P на прямые AB и AC. Докажите, что точка пересечения высот треугольника ADE является серединой отрезка BC.
На плоскости даны неравнобедренный треугольник, его описанная окружность, и отмечен центр его вписанной окружности.
Пользуясь только линейкой без делений и проведя не больше семи линий, постройте диаметр описанной окружности.
Сумма нескольких не обязательно различных положительных чисел не превосходила 100. Каждое из них заменили на новое следующим образом: сначала прологарифмировали по основанию 10, затем округлили стандартным образом до ближайшего целого числа и, наконец, возвели 10 в найденную целую степень. Могло ли оказаться так, что сумма новых чисел превышает 300?
Имеется 11 пустых коробок. За один ход можно положить по одной монете в какие-то 10 из них. Играют двое, ходят по очереди. Побеждает тот, после хода которого впервые в одной из коробок окажется 21 монета. Кто выигрывает при правильной игре?
Пусть f(x) – некоторый многочлен ненулевой степени.
Может ли оказаться, что уравнение f(x) = a при любом значении a имеет чётное число решений?
В треугольнике ABC AB = BC. Из точки E на стороне AB опущен перпендикуляр ED на BC. Оказалось, что AE = ED. Найдите угол DAC.
Клетки квадрата 9×9 окрашены в красный и белый цвета. Докажите, что найдётся или клетка, у которой ровно два красных соседа по углу, или клетка, у которой ровно два белых соседа по углу (или и то, и другое).
Какое наибольшее количество множителей вида можно вычеркнуть в левой части уравнения
так, чтобы число его натуральных корней не изменилось?
В треугольнике ABC I и Ia – центры вписанной и вневписанной окружностей, A' точка описанной окружности, диаметрально противоположная A, AA1 – высота. Докажите, что ∠IA'Ia = ∠IA1Ia.
Отличник Поликарп купил общую тетрадь объёмом 96 листов и пронумеровал все её страницы по порядку числами от 1 до 192. Двоечник Колька вырвал из этой тетради 25 листов и сложил все 50 чисел, которые на них написаны. В ответе у Кольки получилось 2002. Не ошибся ли он?
На столе в ряд стоят $23$ шкатулки, в одной из которых находится приз. На каждой шкатулке написано либо «Здесь приза нет», либо «Приз в соседней шкатулке». Известно, что ровно одно из этих утверждений правдиво. Что написано на средней шкатулке?
Можно ли в клетках таблицы 2002×2002 расставить натуральные числа от 1 до 2002² так, чтобы для каждой клетки этой таблицы из строки или из столбца, содержащих эту клетку, можно было бы выбрать тройку чисел, одно из которых равно произведению двух других?
На столе рубашкой вниз лежит игральная карта. Можно ли, перекатывая ее по столу через ребро, добиться того, чтобы она оказалась на прежнем месте, но
а) рубашкой вверх;
б) рубашкой вниз и вверх ногами?
Постройте треугольник $ABC$ по вершине $A$, центру описанной окружности $O$ и прямой Эйлера, если известно, что прямая Эйлера отсекает на сторонах $AB$ и $AC$ равные отрезки от вершины $A$.
Незнайка знаком только с десятичными логарифмами и считает, что логарифм суммы двух чисел равен произведению их логарифмов, а логарифм разности двух чисел равен частному их логарифмов. Может ли Незнайка подобрать хотя бы одну пару чисел, для которой действительно верны одновременно оба этих равенства?
С помощью волшебного банкомата можно поменять любую купюру на любое конечное число купюр меньшего достоинства. Получив 1000 франков одной бумажкой, сможете ли Вы каждый месяц платить квартплату? (Дело происходит в Швейцарии, где квартплата постоянна, а жизнь бесконечна.)
Гидры состоят из голов и шей (каждая шея соединяет ровно две головы). Одним ударом меча можно снести все шеи, выходящие из какой-то головы A гидры. Но при этом из головы A мгновенно вырастает по одной шее во все головы, с которыми A не была соединена. Геракл побеждает гидру, если ему удастся разрубить её на две несвязанные шеями части. Найдите наименьшее N, при котором Геракл сможет победить любую стошеюю гидру, нанеся не более чем N ударов.
В выпуклом 12-угольнике все углы равны. Известно, что длины каких-то десяти его сторон равны 1, а длина ещё одной равна 2. Чему может быть равна площадь этого 12- угольника?
а) Во всех клетках квадрата 20×20 стоят солдатики. Ваня называет число d, а Петя переставляет солдатиков так, чтобы каждый передвинулся на расстояние не меньше d (расстояние берётся между центрами старой и новой клеток). При каких d это возможно?
б) Эта же задача для квадрата 21×21.
Внутри клетчатого прямоугольника периметра 50 клеток по границам клеток вырезана прямоугольная дырка периметра 32 клетки (дырка не содержит граничных клеток). Если разрезать эту фигуру по всем горизонтальным линиям сетки, получится 20 полосок шириной в 1 клетку. А сколько полосок получится, если вместо этого разрезать её по всем вертикальным линиям сетки? (Квадратик 1 × 1 — это тоже полоска!)
Существует ли такой квадратный трёхчлен f(x), что для любого натурального n уравнение f(f(...f(x))) = 0 (n букв "f") имеет ровно 2n различных действительных корней?
На уроке танцев 15 мальчиков и 15 девочек построили двумя параллельными колоннами, так что образовалось 15 пар. В каждой паре измерили разницу роста мальчика и девочки (разница берётся по абсолютной величине, то есть из большего вычитают меньшее). Максимальная разность оказалась 10 см. В другой раз перед образованием пар каждую колонну предварительно построили по росту. Докажите, что максимальная разность будет не больше 10 см.
Фокусник научил Каштанку лаять столько раз, сколько он ей тайком от публики покажет. Когда Каштанка таким способом правильно ответила, сколько будет дважды два, он спрятал вкусный кекс в чемодан с кодовым замком и сказал:
— Восьмизначный код от чемодана — решение ребуса УЧУЙ = КЕ × КС. Надо заменить одинаковые буквы одинаковыми цифрами, а разные разными так, чтобы получилось верное равенство. Пролай нужное число раз на каждую из восьми букв, и получишь угощение.
Но тут случился конфуз. Каштанка от волнения на каждую букву лаяла на 1 раз больше, чем надо. Конечно, чемодан не открылся. Вдруг раздался детский голос: «Нечестно! Собака правильно решила ребус!» И действительно, если каждую цифру решения, которое имел в виду фокусник, увеличить на 1, получится ещё одно решение ребуса!
Можно ли восстановить: а) какое именно решение имел в виду фокусник; б) чему равнялось число УЧУЙ в этом решении?
Набор чисел a, b, c каждую секунду заменяется на a + b − c, b + c − a, c + a − b. В начале имеется набор чисел 2000, 2002, 2003. Может ли через некоторое время получиться набор 2001, 2002, 2003.
Рассматриваются 4(N – 1) граничных клеток таблицы размером N×N. Нужно вписать в эти клетки последовательные 4(N – 1) целых чисел так, чтобы сумма чисел в вершинах любого прямоугольника со сторонами, параллельными диагоналям таблицы, в том числе и в "вырожденных" прямоугольниках – диагоналях, равнялась одному и тому же числу (для прямоугольников суммируются четыре числа, для диагоналей – два числа). Возможно ли это? Рассмотрите случаи:
а) N = 3;
б) N = 4;
в) N = 5.
a1, a2, a3, ... – возрастающая последовательность натуральных чисел. Известно, что
aak = 3k для любого k.
Найти а) a100; б) a1983.
|
|
 |
Условие
a1, a2, a3, ... – возрастающая последовательность натуральных чисел. Известно, что
aak = 3k для любого k.
Найти а) a100; б) a1983.
Решение
а) Сразу заметим, что последовательность ak строго возрастает. Действительно, предположение ak = ak + 1 = n немедленно приводит к противоречию: an = 3k = 3(k + 1).
Кроме того, a1 > 1 (в противном случае aa1 = a1 = 1 ≠ 3). Отсюда следует, что ak > k для всех k. С другой стороны, a1 < aa1 = 3. Поэтому a1 = 2,
a2 = 3, a3 = 6, a6 = 9, a9 = 18, a18 = 27, a27 = 54, a54 = 81, a81 = 162, a162 = 243. А поскольку 162 – 81 = 243 – 162, то ak = 81 + k для всех k от 81 до 162. В частности, a100 = 181.
б) a162 = 243, a243 = 486, a486 = 729. Поскольку 729 – 486 = 486 – 243, то ak = 243 + k для всех k от 243 до 486. В частности, a418 = 661, а значит, a661 = 1254, a1254 = 1983, a1983 = 3762.
Ответ
а) 181; б) 3762.
Замечания
1. Аналогично можно получить и общую формулу:
2. В 7-8 классах предлагался только п. а) (12 баллов), в 9-10 – только п. б) (8 баллов).
