ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 41]      



Задача 65465

Темы:   [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Вписанный угол равен половине центрального ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

В треугольнике ABC медианы AA0, BB0, CC0 пересекаются в точке M.
Докажите, что центры описанных окружностей треугольников MA0B0, MCB0, MA0C0, MBC0 и точка M лежат на одной окружности.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65716

Темы:   [ Треугольники с углами 60° и 120° ]
[ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Зимин А.

В остроугольном треугольнике ABC угол C равен 60°. H – точка пересечения высот этого треугольника. Окружность с центром H и радиусом HC второй раз пересекает прямые CA и CB в точках M и N соответственно. Докажите, что AN и BM параллельны (или совпадают).

Прислать комментарий     Решение

Задача 65729

Темы:   [ Десятичная система счисления ]
[ Простые числа и их свойства ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Пусть p – простое число, большее 10k. Взяли число, кратное p, и вставили между какими-то двумя его соседними цифрами k-значное число A. Получили число, кратное p. В него вставили k-значное число B – между двумя соседними цифрами числа A, – и результат снова оказался кратным p. Докажите, что число B получается из числа A перестановкой цифр.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65731

Темы:   [ Теория графов (прочее) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

а) Есть  2n + 1  батарейка  (n > 2).  Известно, что хороших среди них на одну больше, чем плохих, но какие именно батарейки хорошие, а какие плохие, неизвестно. В фонарик вставляются две батарейки, при этом он светит, только если обе – хорошие. За какое наименьшее число таких попыток можно гарантированно добиться, чтобы фонарик светил?

б) Та же задача, но батареек 2n  (n > 2),  причём хороших и плохих поровну.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65735

Темы:   [ Связность и разложение на связные компоненты ]
[ Теория алгоритмов (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Кноп К.А.

В стране 64 города, некоторые пары из них соединены дорогой, но нам неизвестно, какие именно. Мы можем выбрать любую пару городов и получить ответ на вопрос “есть ли дорога между ними?”. Мы хотим узнать, можно ли в этой стране добраться от любого города до любого другого, двигаясь по дорогам. Докажите, что не существует алгоритма, позволяющего сделать это менее чем за 2016 вопросов.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 41]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .