Каталог по авторам

Все задачи автора

Страница: << 36 37 38 39 40 41 42 >> [Всего задач: 215]

Задача 116135

Темы:	[	Шестиугольники	]
	[	Вписанные и описанные многоугольники	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9

Автор: Заславский А.А.

Противоположные стороны выпуклого шестиугольника параллельны. Hазовём высотой такого шестиугольника отрезок с концами на прямых, содержащих противолежащие стороны и перпендикулярный им. Докажите, что вокруг этого шестиугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда его высоты можно параллельно перенести так, чтобы они образовали треугольник.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116688

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Свойства биссектрис, конкуррентность	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	ГМТ - окружность или дуга окружности	]
	[	Соображения непрерывности	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Автор: Заславский А.А.

Дан треугольник ABC. Прямая l касается вписанной в него окружности. Обозначим через l_a, l_b, l_c прямые, симметричные l относительно биссектрис внешних углов треугольника. Докажите, что треугольник, образованный этими прямыми, равен треугольнику ABC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64477

Темы:	[	Пространственные многоугольники	]
	[	Прямые и плоскости в пространстве (прочее)	]
	[	Проектирование помогает решить задачу	]
	[	Теорема о трех перпендикулярах	]
	[	Окружности, вписанные в сегмент	]
	[	Теоремы Чевы и Менелая	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Заславский А.А.

Общие перпендикуляры к противоположным сторонам пространственного четырёхугольника взаимно перпендикулярны.
Докажите, что они пересекаются.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66317

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Построения одной линейкой	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Применение проективных преобразований, сохраняющих окружность	]
	[	Индукция в геометрии	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Заславский А.А.

На плоскости нарисованы неравнобедренный треугольник ABC и вписанная в него окружность ω. Пользуясь только линейкой и проведя не более восьми линий, постройте на ω такие точки A′, B′, C′, что лучи B′C′, C′A′, A′B′ проходят через A, B, C соответственно.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66584

Темы:	[	Ориентированные графы	]
	[	Индукция	]
	[	Теория алгоритмов (прочее)	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Автор: Заславский А.А.

В некотором государстве 32 города, каждые два из которых соединены дорогой с односторонним движением. Министр путей сообщения, тайный злодей, решил так организовать движение, что, покинув любой город, в него нельзя будет вернуться. Для этого он каждый день, начиная с 1 июня 2021 года, может менять направление движения на одной из дорог. Докажите, что он сможет добиться своего к 2022 году (то есть за 214 дней).

Прислать комментарий Решение

Страница: << 36 37 38 39 40 41 42 >> [Всего задач: 215]