Каталог по авторам

Выбрано 14 задач

Паутина имеет вид клетчатой сетки 100×100 узлов (другими словами, это сетка 99×99 клеток). В каком-то её углу сидит паук, а в некоторых 100 узлах к паутине приклеились мухи. За ход паук может переместиться в любой соседний с ним узел. Может ли паук гарантированно съесть всех мух, затратив не более
а) 2100 ходов;
б) 2000 ходов?

Решение

Автор: Бородин П.А.

Графики квадратного трёхчлена и его производной разбивают координатную плоскость на четыре части. Сколько корней имеет этот квадратный трёхчлен?

Решение

Автор: Бородин П.А.

Решите уравнение $x^3+(\log_25+\log_32+\log_53) x=(\log_23+\log_35+\log_52) x^2+1.$

Решение

Автор: Бородин П.А.

В равнобедренной трапеции проведена диагональ. По контуру каждого из получившихся двух треугольников ползёт свой жук. Скорости движения жуков постоянны и одинаковы. Жуки не меняют направления обхода своих контуров, и по диагонали трапеции они ползут в разных направлениях. Докажите, что при любых начальных положениях жуков они когда-нибудь встретятся.

Решение

Авторы: Капович И., Капович В.

Четыре окружности радиуса R пересекаются по три в точках M и N, и по две в точках A, B, C и D. Докажите что ABCD — параллелограмм.

Решение

Автор: Забазнов Г.

Остроугольный треугольник $ABC$ вписан в окружность $\Omega$ . Пусть $H$ и $M$ – точка пересечения высот и середина стороны $BC$ соответственно. Прямая $HM$ пересекает окружность $\omega$ , описанную около треугольника $BHC$ , в точке $N\not=H$ . На дуге $BC$ окружности $\omega$ , не содержащей точку $H$ , нашлась точка $P$ такая, что $\angle HMP=90^{\circ}$ . Отрезок $PM$ пересекает $\Omega$ в точке $Q$ . Точки $B'$ и $C'$ симметричны точке $A$ относительно точек $B$ и $C$ соответственно. Докажите, что описанные окружности треугольников $AB'C'$ и $PQN$ касаются.

Решение

Автор: Новиков И.Д.

Многоугольник, описанный около окружности радиуса r, разрезан на треугольники (произвольным образом). Докажите, что сумма радиусов вписанных окружностей этих треугольников больше r.

Решение

Авторы: Чанакчи И., Шиффлер Р.

Рассмотрим на клетчатой плоскости такие ломаные с началом в точке (0, 0) и вершинами в целых точках, что каждое очередное звено идёт по сторонам клеток либо вверх, либо вправо. Каждой такой ломаной соответствует червяк – фигура, состоящая из клеток плоскости, имеющих хотя бы одну общую точку с этой ломаной. Докажите, что червяков, которые можно разбить на двуклеточные доминошки ровно $n > 2$ различными способами, столько же, сколько натуральных чисел, меньших $n$ и взаимно простых с $n$ . (Червяки разные, если состоят из разных наборов клеток.)

Решение

Автор: Тутеску Л.

Решите систему уравнений:
   (x₃ + x₄ + x₅)⁵ = 3x₁,
   (x₄ + x₅ + x₁)⁵ = 3x₂,
   (x₅ + x₁ + x₂)⁵ = 3x₃,
   (x₁ + x₂ + x₃)⁵ = 3x₄,
   (x₂ + x₃ + x₄)⁵ = 3x₅.

Решение

Автор: Кухарчук И.

Выпуклый четырехугольник $ABCD$ таков, что $\angle BAD = 2 \angle BCD$ и $AB = AD$ . Пусть $P$ – такая точка, что $ABCP$ – параллелограмм. Докажите, что $CP=DP$ .

Решение

Авторы: Мякишев А.Г., Мавло Д.

Около треугольника ABC описали окружность. A₁ – точка пересечения с нею прямой, параллельной BC и проходящей через A. Точки B₁ и C₁ определяются аналогично. Из точек A₁, B₁, C₁ опустили перпендикуляры на BC, CA, AB соответственно. Докажите, что эти три перпендикуляра пересекаются в одной точке.

Решение

Автор: Кухарчук И.

Дана равнобокая трапеция $ABCD$ ( $AB=CD$ ). На описанной около неё окружности выбирается точка $P$ так, что отрезок $CP$ пересекает основание $AD$ в точке $Q$ . Пусть $L$ – середина $QD$ . Докажите, что длина диагонали трапеции не превосходит суммы расстояний от середин её боковых сторон до любой точки прямой $PL$ .

Решение

Авторы: Демин Д., Кухарчук И.

Даны две окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ , пересекающиеся в точке $A$ , и прямая $a$ . Пусть $BC$ – произвольная хорда окружности $\omega_2$ , параллельная $a$ , а $E$ и $F$ – вторые точки пересечения прямых $AB$ и $AC$ с $\omega_1$ . Найдите геометрическое место точек пересечения прямых $BC$ и $EF$ .

Решение

Автор: Шмаров В.

Вписанная и вневписанная сферы треугольной пирамиды ABCD касаются её грани BCD в различных точках X и Y.
Докажите, что треугольник AXY тупоугольный.

Решение

Задача 64360

Задача 116545

Задача 116565

Задача 64764

Задача 116590