Все авторы
>>
Ивлев Ф. 
Фильтр
Выбрано 10 задач Убрать все задачи
В четырёхугольнике ABCD углы A и C – прямые. На сторонах AB и CD как на диаметрах построены окружности, пересекающиеся в точках X и Y. Докажите, что прямая XY проходит через середину K диагонали AC
В доме из $2^n$ комнат сделали евроремонт. При этом выключатели света оказались перепутанными, так что при включении выключателя в одной комнате загорается лампочка, вообще говоря, в какой-то другой комнате. Чтобы узнать, какой выключатель к какой комнате подсоединён, прораб посылает несколько людей в какие-то комнаты, чтобы те, одновременно включив там выключатели, вернулись и сообщили ему, горела лампочка в их комнате или нет.
а) Докажите, что за $2n$ таких посылок прораб может установить соответствие между выключателями и комнатами.
б) А может ли он обойтись $2n-1$ такими посылками?
Пять друзей подошли к реке и обнаружили на берегу лодку, в которой могут поместиться все пятеро. Они решили покататься на лодке. Каждый раз с одного берега на другой переправляется компания из одного или нескольких человек. Друзья хотят организовать катание так, чтобы каждая возможная компания переправилась ровно один раз. Получится ли у них это сделать?
В левой нижней клетке доски 100×100 стоит фишка. Чередуя горизонтальные и вертикальные ходы в соседнюю по стороне клетку (первый ход горизонтальный), она дошла сначала до левой верхней клетки, а потом до правой верхней. Докажите, что найдутся две такие клетки $A$ и $B$, что фишка не менее двух раз делала ход из $A$
в $B$.
За некоторое время мальчик проехал на велосипеде целое число раз по периметру квадратной школы в одном направлении с постоянной по величине скоростью 10 км/ч. В это же время по периметру школы прогуливался его папа со скоростью 5 км/ч, при этом он мог менять направление движения. Папа видел мальчика в те и только те моменты, когда они находились на одной стороне школы. Мог ли папа видеть мальчика больше половины указанного времени?
В неравнобедренном остроугольном треугольнике ABC точки C0 и B0 – середины сторон AB и AC соответственно, O – центр описанной окружности, H – точка пересечения высот. Прямые BH и OC0 пересекаются в точке P, а прямые CH и OB0 – в точке Q. Оказалось, что четырёхугольник OPHQ – ромб. Докажите, что точки A, P и Q лежат на одной прямой.
Дан треугольник $ABC$. Пусть $I$ – центр его вписанной окружности, $P$ – такая точка на стороне $AB$, что угол $PIB$ прямой, $Q$ – точка, симметричная точке $I$ относительно вершины $A$. Докажите, что точки $C$, $I$, $P$, $Q$ лежат на одной окружности.
В кооперативе из 11 человек имеется партячейка. На каждом собрании ячейки происходит либо приём одного члена в партию, либо исключение из партии одного человека. В партячейке не может быть меньше трёх человек. Возвращаться к какому-либо из прежних составов партячейки запрещено уставом. Может ли к какому-то моменту оказаться, что все варианты состава ячейки реализованы?
Квадратная комната разгорожена перегородками на несколько меньших квадратных комнат. Длина стороны каждой комнаты – целое число.
Докажите, что сумма длин всех перегородок делится на 4.
Дан тетраэдр, в который можно вписать сферу, касающуюся всех его рёбер. Пусть отрезки касательных из вершин равны a, b, c и d. Всегда ли можно из этих четырёх отрезков сложить какой-нибудь треугольник? (Не обязательно использовать все отрезки. Разрешается образовывать сторону треугольника из двух отрезков.)
Все задачи автора Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 33]
Задача 116917 |
|
|
Дан треугольник ABC. Касательная в точке C к его описанной окружности пересекает прямую AB в точке D. Касательные к описанной окружности треугольника ACD в точках A и C пересекаются в точке K. Докажите, что прямая DK делит отрезок BC пополам.
|
|
Решение |
Задача 116950 |
|
В окружность Ω вписан остроугольный треугольник ABC, в котором AB > BC. Пусть P и Q – середины меньшей и большей дуг AC окружности Ω, соответственно, а M – основание перпендикуляра, опущенного из точки Q на отрезок AB. Докажите, что описанная окружность треугольника BMC делит пополам отрезок BP.
|
|
|
Решение |
Задача 64342 |
|
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AP и BQ, а также медиана CM. Точка R – середина CM. Прямая PQ пересекает прямую AB в точке T. Докажите, что OR⊥TC, где O – центр описанной окружности треугольника ABC.
|
|
|
Решение |
Дан треугольник ABC. Проведены высота AH и медиана CM. Обозначим точку их пересечения через P. Высота, проведённая из вершины B треугольника, пересекается с перпендикуляром, опущенным из точки H на прямую CM, в точке Q. Докажите, что прямые CQ и BP перпендикулярны.
|
|
|
Решение |
Задача 65811 |
|
|
Дан тетраэдр, в который можно вписать сферу, касающуюся всех его рёбер. Пусть отрезки касательных из вершин равны a, b, c и d. Всегда ли можно из этих четырёх отрезков сложить какой-нибудь треугольник? (Не обязательно использовать все отрезки. Разрешается образовывать сторону треугольника из двух отрезков.)
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 33]
