Версия для печати
Убрать все задачи

---

На 2016 красных и 2016 синих карточках написаны положительные числа, все они различны. Известно, что на карточках какого-то одного цвета написаны попарные суммы каких-то 64 чисел, а на карточках другого цвета – попарные произведения тех же 64 чисел. Всегда ли можно определить, на карточках какого цвета написаны попарные суммы?

   Решение

---

Дан многочлен $P(x)$ степени $n>5$ с целыми коэффициентами, имеющий $n$ различных целых корней. Докажите, что многочлен $P(x)+3$ имеет $n$ различных действительных корней.

   Решение

---

Квадрат разбит на n² равных квадратиков. Про некоторую ломаную известно, что она проходит через центры всех квадратиков (ломаная может пересекать сама себя). Каково минимальное число звеньев у этой ломаной?

   Решение

---

Клетки доски m×n покрашены в два цвета. Известно, что на какую бы клетку ни поставить ладью, она будет бить больше клеток не того цвета, на котором стоит (клетка под ладьей тоже считается побитой). Докажите, что на каждой вертикали и каждой горизонтали клеток обоих цветов поровну.

   Решение

Страница: << 133 134 135 136 137 138 139 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 98295

Тема:   [ Симметричная стратегия ]

Сложность: 3+ Классы: 6,7,8

Двое играют в крестики-нолики на доске 10×10 по следующим правилам. Сначала они заполняют крестиками и ноликами всю доску, ставя их по очереди (начинающий игру ставит крестики, его партнер – нолики). Затем подсчитываются два числа: K – число пятерок подряд стоящих крестиков и H – число пятерок подряд стоящих ноликов. (Считаются пятерки, стоящие по горизонтали, по вертикали и параллельно диагонали; если подряд стоят шесть крестиков, то это даёт две пятерки, если семь, то три и т. д.) Число  K – H  считается выигрышем первого игрока (проигрышем второго).
  а) Существует ли у первого игрока беспроигрышная стратегия?
  б) Существует ли у него выигрышная стратегия?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98296

Темы:   [ Геометрические интерпретации в алгебре ] [ Теорема косинусов ] [ Против большей стороны лежит больший угол ] [ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Положительные числа a, b, c таковы, что  a² + b² – ab = c².  Докажите, что (a – c)(b – c) ≤ 0.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98298

Темы:   [ Принцип Дирихле (углы и длины) ] [ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

В ряд выписаны действительные числа a₁, a₂, a₃, ..., a₁₉₉₆. Докажите, что можно выделить одно или несколько стоящих рядом чисел так, что их сумма будет отличаться от целого числа меньше, чем на 0,001.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98305

Темы:   [ Правильный тетраэдр ] [ Основные свойства и определения правильных многогранников ] [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Можно ли разбить все пространство на правильные тетраэдры и октаэдры?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98306

Тема:   [ Теорема косинусов ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

На сторонах треугольника ABC во внешнюю сторону построены квадраты ABMN, BCKL, ACPQ. На отрезках NQ и PK построены квадраты NQZT и PKXY. Разность площадей квадратов ABMN и BCKL равна d. Найдите разность площадей квадратов NQZT и PKXY
  а) в случае, если угол ABC прямой,
  б) в общем случае.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 133 134 135 136 137 138 139 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями