Версия для печати
Убрать все задачи

---

Десятичные записи натуральных чисел выписаны подряд, начиная с единицы, до некоторого n включительно:   12345678910111213...(n).
Существует ли такое n, что в этой записи все десять цифр встречаются одинаковое количество раз?

   Решение

---

Мудрецам $A, B, C, D$ сообщили, что числа 1, 2, ..., 12 написаны по одному на 12 карточках и что эти карточки будут розданы им по три, причём каждый увидит лишь свои карточки. После раздачи мудрецы по очереди сказали следующее.
  $A$: "На одной из моих карточек – число 8".
  $B$: "Все числа на моих карточках простые".
  $C$: "А все числа на моих – составные, причём имеют общий простой делитель".
  $D$: "Тогда я знаю, какие карточки у каждого из вас".
Какие карточки у $A$, если все сказали правду?

   Решение

Страница: << 38 39 40 41 42 43 44 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 97863

Темы:   [ Признаки делимости на 3 и 9 ] [ Последовательности (прочее) ] [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Десятичная система счисления ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Каждый член последовательности, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему числу его суммы цифр. Первым членом последовательности является единица. Встретится ли в последовательности число 123456?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97867

Темы:   [ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Площадь параллелограмма ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Квадрат разбит на пять прямоугольников так, что четыре угла квадрата являются углами четырёх прямоугольников, площади которых равны между собой, а пятый прямоугольник не имеет общих точек со сторонами квадрата. Докажите, что этот пятый прямоугольник есть квадрат.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97870

Темы:   [ Простые числа и их свойства ] [ Деление с остатком ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Из чисел  1, 2, 3, ..., 1985  выбрать наибольшее количество чисел так, чтобы разность любых двух выбранных чисел не была простым числом.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97871

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Доказательство от противного ] [ Теорема Виета ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Даны три действительных числа: a, b и c. Известно, что  a + b + c > 0,  ab + bc + ca > 0,  abc > 0.  Докажите, что  a > 0,  b > 0  и  c > 0.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97880  [Игра "кошки-мышки"]

Темы:   [ Симметричная стратегия ] [ Шахматная раскраска ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Кошка ловит мышку в лабиринтах А, Б, В. Кошка ходит первой, начиная с узла, отмеченного буквой "К". Затем ходит мышка (из узла "М"), затем опять кошка и т. д. Из любого узла кошка и мышка ходят в любой соседний узел. Если в какой-то момент кошка и мышка оказываются в одном узле, кошка ест мышку. Сможет ли кошка поймать мышку в каждом из случаев А, Б, В?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 38 39 40 41 42 43 44 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями