Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 131 132 133 134 135 136 137 >> [Всего задач: 1957]

Задача 79534

Темы:	[	Арифметика остатков (прочее)	]
Темы:	[	Простые числа и их свойства	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Докажите, что при простых p_i ≥ 5, i = 1, 2, ..., 24, число делится нацело на 24.

Прислать комментарий

Решение

Задача 79536

Темы:	[	Уравнения в целых числах	]
Темы:	[	Целочисленные и целозначные многочлены	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Пусть x и y – натуральные числа. Рассмотрим функцию f(x, y) = ½ (x + y – 1)(x + y – 2) + y. Докажите, что множеством значений этой функции являются все натуральные числа, причём для любого натурального i = f(x, y) числа x и y определяются однозначно.

Прислать комментарий

Решение

Задача 79549

Темы:	[	Процессы и операции	]
Темы:	[	Геометрия на клетчатой бумаге	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Часть клеток бесконечной клетчатой бумаги покрашена в красный цвет, остальные — в белый (не обязательно в шахматном порядке). По красным клеткам прыгает кузнечик, по белым — блоха, причём каждый прыжок может быть сделан на любое расстояние по вертикали или горизонтали. Докажите, что кузнечик и блоха могут оказаться рядом, сделав в общей сложности (в сумме) не более трёх прыжков.

Прислать комментарий Решение

Задача 79554

Темы:	[	Признаки перпендикулярности	]
	[	Раскраски	]
	[	Параллельность прямых и плоскостей	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

В пространстве имеются четыре различные прямые, окрашенные в два цвета: две красные и две синие, причём любая красная прямая перпендикулярна любой синей прямой. Докажите, что либо красные, либо синие прямые параллельны.

Прислать комментарий Решение

Задача 79555

Темы:	[	Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках	]
Темы:	[	Отношения линейных элементов подобных треугольников	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10

В треугольнике ABC на сторонах AB, BC и AC взяты соответственно точки M, K и L так, что прямая MK параллельна прямой AC и ML параллельна BC. При этом отрезок BL пересекает отрезок MK в точке P, а AK пересекает ML в точке Q. Докажите, что отрезки PQ и AB параллельны.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 131 132 133 134 135 136 137 >> [Всего задач: 1957]