Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 128 129 130 131 132 133 134 >> [Всего задач: 2003]

Задача 79342

Темы:	[	Перпендикулярные прямые в пространстве	]
	[	Параллельность прямых и плоскостей	]
	[	Системы отрезков, прямых и окружностей	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

В пространстве расположено n отрезков, никакие три из которых не параллельны одной плоскости. Для любых двух отрезков прямая, соединяющая их середины, перпендикулярна обоим отрезкам. При каком наибольшем n это возможно?

Прислать комментарий Решение

Задача 79347

Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	Периодичность и непериодичность	]
	[	Четность и нечетность	]
	[	Целая и дробная части. Принцип Архимеда	]

Сложность: 3+
Классы: 11

Последовательность натуральных чисел {x_n} строится по следующему правилу: x₁ = 2, ..., x_n = [1,5x_n–1].
Доказать, что последовательность y_n = (–1)^x_n непериодическая.

Прислать комментарий Решение

Задача 79363

Темы:	[	Неравенства с площадями	]
	[	Свойства частей, полученных при разрезаниях	]
	[	Неравенство Коши	]

Сложность: 3+
Классы: 8

Квадрат разрезан на прямоугольники.
Доказать, что сумма площадей кругов, описанных около каждого прямоугольника, не меньше площади круга, описанного около квадрата.

Прислать комментарий

Решение

Задача 79382

Темы:	[	Периодичность и непериодичность	]
	[	Десятичная система счисления	]
	[	Периодические и непериодические дроби	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Автор: Карагулян А.

a₁, a₂, a₃, ..., a_n, ... – возрастающая последовательность натуральных чисел. Известно, что a_n+1 ≤ 10a_n при всех натуральных n.
Доказать, что бесконечная десятичная дробь 0,a₁a₂a₃..., полученная приписыванием этих чисел друг к другу, непериодическая.

Прислать комментарий

Решение

Задача 79389

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
	[	Четность и нечетность	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Дано число, имеющее 13 разрядов. Доказать, что одну из его цифр можно вычеркнуть так, что в полученном числе количество семёрок на чётных местах будет равно количеству семёрок на нечётных местах.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 128 129 130 131 132 133 134 >> [Всего задач: 2003]