Страница: << 288 289 290 291 292 293 294 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 67643

Темы:   [ Биссектриса угла ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ с углом $B$, равным $45^\circ$, выбрали соответственно точки $Q$ и $P$ так, что угол $BAP$ в три раза меньше угла $A$, а угол $BCQ$ в три раза меньше угла $C$. Пусть $M$ — точка пересечения отрезков $AP$ и $CQ$. Описанные окружности треугольников $BPM$ и $BQM$ повторно пересекают стороны $AB$ и $BC$ в точках $N$ и $K$ соответственно. Докажите, что из отрезков $AN$, $AC$ и $CK$ можно сложить треугольник, и найдите наибольший угол этого треугольника.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67645

Темы:   [ Разные задачи на разрезания ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9,10,11

а) Существует ли отличный от параллелограмма выпуклый четырёхугольник, который можно разрезать на любое количество равных выпуклых четырёхугольников от 2 до 100?

б) Существует ли выпуклый четырёхугольник, не имеющий ни центра, ни оси симметрии, который можно разрезать как на 2, так и на 47 равных выпуклых четырёхугольников?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67646

Темы:   [ Шахматные доски и шахматные фигуры ] [ Оценка + пример ] [ Раскраски ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9,10,11

В каждой клетке одной из главных диагоналей доски $90\times90$ стоит конь. За какое наименьшее число ходов кони могут занять все клетки другой главной диагонали?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67651

Темы:   [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Существует ли выпуклый пятиугольник со свойством: для каждой точки на его границе найдётся квадрат, вписанный в пятиугольник, и такой, что выбранная точка является одной из вершин квадрата? (Квадрат считается вписанным, если все его вершины лежат на границе пятиугольника.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67652

Темы:   [ Теория графов ] [ Связность и разложение на связные компоненты ] [ Степень вершины ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

На клетчатой доске $2n\times 2n$ расставлены $2n$ ладей ($n$ — натуральное число). Докажите, что можно выбрать либо $n$ горизонталей, либо $n$ вертикалей и снять все ладьи с выбранных $n$ рядов так, что оставшиеся ладьи не будут бить друг друга.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 288 289 290 291 292 293 294 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями