Версия для печати
Убрать все задачи

---

Точка $O$ – центр описанной окружности остроугольного треугольника $ABC$, $AH$ – его высота. Точка $P$ – основание перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на прямую $CO$. Докажите, что прямая $HP$ проходит через середину стороны $AB$.

   Решение

---

В белом клетчатом квадрате 100×100 закрашено чёрным несколько клеток (не обязательно соседних). В каждой горизонтали или вертикали, где есть чёрные клетки, их количество нечётно, так что одна из клеток – средняя по счёту. Все чёрные клетки, средние по горизонтали, стоят в разных вертикалях. Все чёрные клетки, средние по вертикали, стоят в разных горизонталях.
  а) Докажите, что найдётся клетка, средняя и по горизонтали, и по вертикали.
  б) Обязательно ли каждая клетка, средняя по горизонтали – средняя и по вертикали?

   Решение

---

В последовательности натуральных чисел каждое число, кроме первого, получается прибавлением к предыдущему самой большой его цифры.
Какое наибольшее количество подряд идущих членов последовательности могут быть нечётными?

   Решение

Страница: << 103 104 105 106 107 108 109 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 66334

Темы:   [ Упаковки ] [ Касающиеся окружности ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Даны две монеты радиуса 1 см, две монеты радиуса 2 см и две монеты радиуса 3 см. Можно положить две из них на стол так, чтобы они касались друг друга, и добавлять монеты по одной так, чтобы очередная касалась хотя бы двух уже лежащих. Новую монету нельзя класть на старую. Можно ли положить несколько монет так, чтобы центры каких-то трёх монет оказались на одной прямой?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66335

Тема:   [ Задачи на проценты и отношения ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Аналитик сделал прогноз изменения курса доллара на каждый из трёх ближайших месяцев: на сколько процентов (число, большее 0% и меньшее 100%) изменится курс за июль, на сколько – за август, и на сколько – за сентябрь. Оказалось, что про каждый месяц он верно предсказал, на сколько процентов изменится курс, но ошибся с направлением изменения (то есть если он предсказывал, что курс увеличится на $x\%$, то курс падал на $x\%$, и наоборот). При этом через три месяца курс совпал с прогнозом. В какую сторону в итоге изменился курс?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66341

Тема:   [ Измерение длин отрезков и мер углов. Смежные углы. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Дан правильный шестиугольник с центром $O$. Провели шесть равных окружностей с центрами в вершинах шестиугольника так, что точка $O$ находится внутри окружностей. Угол величины α с вершиной $O$ высекает на этих окружностях шесть дуг. Докажите, что суммарная величина этих дуг равна 6α.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66342

Тема:   [ Задачи на проценты и отношения ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Аналитик сделал прогноз изменения курса доллара на каждый из 12 ближайших месяцев: на сколько процентов (число, большее 0% и меньшее 100%) изменится курс за октябрь, на сколько – за ноябрь, ..., на сколько – за сентябрь. Оказалось, что про каждый месяц он верно предсказал, на сколько процентов изменится курс, но ошибся с направлением изменения (то есть, если он предсказывал, что курс увеличится на $x$%, то курс падал на $x$%, и наоборот). При этом через 12 месяцев курс совпал с прогнозом. В какую сторону в итоге изменился курс?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66691

Темы:   [ Прямоугольные треугольники (прочее) ] [ Средняя линия треугольника ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Центр масс ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

На гипотенузе $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$ отметили точку $K$, а на катете $AC$ – точку $L$ так, что  $AK = AC,  BK = LC$.  Отрезки $BL$ и $CK$ пересекаются в точке $M$. Докажите, что треугольник $CLM$ равнобедренный.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 103 104 105 106 107 108 109 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями