Страница: << 140 141 142 143 144 145 146 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 98455

Темы:   [ Неравенства для площади треугольника ] [ Площадь треугольника (через высоту и основание) ] [ Монотонность, ограниченность ] [ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Пусть ABC – остроугольный треугольник, C' и A' – произвольные точки на сторонах AB и BC соответственно, B' – середина стороны AC.
  а) Докажите, что площадь треугольника A'B'C' не больше половины площади треугольника ABC.
  б) Докажите, что площадь треугольника A'B'C' равна четверти площади треугольника ABC тогда и только тогда, когда хотя бы одна из точек A', C' совпадает с серединой соответствующей стороны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98461

Темы:   [ Системы точек ] [ Теория алгоритмов ] [ Комбинаторная геометрия (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

На прямоугольном листе бумаги отмечены
  а) несколько точек на одной прямой;
  б) три точки.
Разрешается сложить лист бумаги несколько раз по прямой так, чтобы отмеченные точки не попали на линии сгиба, и затем один раз шилом проколоть сложенный лист насквозь. Докажите, что это можно сделать так, чтобы дырки оказались в точности в отмеченных точках и лишних дырок не получилось.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98463

Темы:   [ Вневписанные окружности ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Средняя линия трапеции ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Вневписанные окружности касаются сторон AC и BC треугольника ABC в точках K и L. Докажите, что прямая, соединяющая середины KL и AB,
  а) делит периметр треугольника ABC пополам;
  б) параллельна биссектрисе угла ACB.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98468

Темы:   [ Трапеции (прочее) ] [ Площадь четырехугольника ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Отношение площадей треугольников с общим углом ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

В трапеции ABCD площади 1 основания BC и AD относятся как  1 : 2.  Пусть K – середина диагонали AC. Прямая DK пересекает сторону AB в точке L. Найдите площадь четырёхугольника BCKL.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98469

Темы:   [ Призма (прочее) ] [ Раскраски ] [ Теория графов (прочее) ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

В основании призмы лежит n-угольник. Требуется раскрасить все 2n её вершин тремя красками так, чтобы каждая вершина была связана рёбрами с вершинами всех трёх цветов.
  а) Докажите, что если n делится на 3, то такая раскраска возможна.
  б) Докажите, что если если такая раскраска возможна, то n делится на 3.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 140 141 142 143 144 145 146 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями