Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 55 56 57 58 59 60 61 >> [Всего задач: 371]

Задача 107634

Темы:	[	Геометрические интерпретации в алгебре	]
	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
	[	Подсчет двумя способами	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

{a₁, a₂, ..., a₂₀} — набор целых положительных чисел.
Строим новый набор чисел {b₀, b₁, b₂, ...} по следующему правилу:
b₀ — количество чисел исходного набора, которые больше 0,
b₁ — количество чисел исходного набора, которые больше 1,
b₂ — количество чисел исходного набора, которые больше 2,
и т.д., пока не пойдут нули. Докажите, что сумма всех чисел исходного набора равна сумме всех чисел нового набора.

Прислать комментарий Решение

Задача 107702

Темы:	[	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)	]
	[	Куб	]
	[	Свойства частей, полученных при разрезаниях	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Поверхность кубика Рубика 3 x 3 x 3 состоит из 54 клеток. Какое наибольшее количество клеток можно отметить так, чтобы отмеченные клетки не имели общих вершин?

Прислать комментарий Решение

Задача 111641

Темы:	[	Неравенства с площадями	]
	[	Площадь четырехугольника	]
	[	Площадь треугольника (через высоту и основание)	]
	[	Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Автор: Сергеев П.В.

Египтяне вычисляли площадь выпуклого четырёхугольника по формуле (a+c)(b+d)/4 , где a , b , c , d — длины сторон в порядке обхода. Найдите все четырёхугольники, для которых эта формула верна.

Прислать комментарий Решение

Задача 115389

Темы:	[	Неравенства с объемами	]
	[	Объем тела равен сумме объемов его частей	]
	[	Касающиеся сферы	]
	[	Шар и его части	]
	[	Объем шара, сегмента и проч.	]
	[	Взвешивания	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

На левую чашу весов положили два шара радиусов 3 и 5, а на правую — один шар радиуса 8. Какая из чаш перевесит? (Все шары изготовлены целиком из одного и того же материала.)

Прислать комментарий Решение

Задача 115711

Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Геометрия на клетчатой бумаге	]
	[	Малые шевеления	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Казицына Т.В.

В саду растут яблони и груши — всего 7 деревьев (деревья обоих видов присутствуют). Ближе всех к каждому дереву растет дерево того же вида и дальше всех от каждого дерева растет дерево того же вида. Приведите пример того, как могут располагаться деревья в саду.
Комментарий. Имелось в виду, что если ближайших к данному дереву (или самых дальних от данного дерева) несколько, то условие должно выполнятся для каждого из них.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 55 56 57 58 59 60 61 >> [Всего задач: 371]