Фильтр
Выбрано 4 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи
Проведём в выпуклом многоугольнике некоторые диагонали так, что никакие две из них не пересекаются (из одной вершины могут выходить несколько диагоналей). Доказать, что найдутся по крайней мере две вершины многоугольника, из которых не проведено ни одной диагонали.
Решение
Дана окружность и точка вне её; из этой точки мы совершаем путь по замкнутой ломаной, состоящей из отрезков прямых, касательных к окружности, и заканчиваем путь в начальной точке. Участки пути, по которым мы приближались к центру окружности, берём со знаком плюс, а участки пути, по которым мы удалялись от центра, — со знаком минус. Докажите, что для любого такого пути сумма длин участков пути, взятых с указанными знаками, равна нулю.
Решение
Решение
D – точка на стороне BC треугольника ABC. B треугольники ABD, ACD вписаны окружности, и к ним проведена общая внешняя касательная (отличная от BC), пересекающая AD в точке K. Докажите, что длина отрезка AK не зависит от положения точки D на BC. Решение
Убрать все задачи
Проведём в выпуклом многоугольнике некоторые диагонали так, что никакие две из них не пересекаются (из одной вершины могут выходить несколько диагоналей). Доказать, что найдутся по крайней мере две вершины многоугольника, из которых не проведено ни одной диагонали.
РешениеДана окружность и точка вне её; из этой точки мы совершаем путь по замкнутой ломаной, состоящей из отрезков прямых, касательных к окружности, и заканчиваем путь в начальной точке. Участки пути, по которым мы приближались к центру окружности, берём со знаком плюс, а участки пути, по которым мы удалялись от центра, — со знаком минус. Докажите, что для любого такого пути сумма длин участков пути, взятых с указанными знаками, равна нулю.
РешениеНатуральные числа x и y таковы, что 2x² – 1 = y15. Докажите, что если x > 1, то x делится на 5.
РешениеD – точка на стороне BC треугольника ABC. B треугольники ABD, ACD вписаны окружности, и к ним проведена общая внешняя касательная (отличная от BC), пересекающая AD в точке K. Докажите, что длина отрезка AK не зависит от положения точки D на BC.
Решение
Задачи
Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 23]
D – точка на стороне BC треугольника ABC. B треугольники ABD, ACD вписаны окружности, и к ним проведена общая внешняя касательная (отличная от BC), пересекающая AD в точке K. Докажите, что длина отрезка AK не зависит от положения точки D на BC.
У Коли есть отрезок длины k, а у Лёвы — отрезок длины l. Сначала Коля
делит свой отрезок на три части, а потом Лёва делит на три части свой
отрезок. Если из получившихся шести отрезков можно сложить два треугольника,
то выигрывает Лёва, а если нет — Коля. Кто из играющих, в зависимости от
отношения k/l, может обеспечить себе победу, и как ему следует играть?
Придумайте многогранник, у которого нет трех граней с одинаковым числом
сторон.
Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 23]
Задача 107761 |
|
|
Бесконечная последовательность чисел xn определяется условиями: xn+1 = 1 – |1 – 2xn|, причём 0 ≤ x1 ≤ 1.
Докажите, что последовательность, начиная с некоторого места, периодическая а) в том б) и только в том случае, когда x1 рационально.
|
|
Решение |
Задача 107763 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 108197 |
|
|
В треугольнике ABC провели биссектрисы углов A и C. Точки P и Q – основания перпендикуляров, опущенных из вершины B на эти биссектрисы. Докажите, что отрезок PQ параллелен стороне AC.
|
|
|
Решение |
Задача 107755 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 107766 |
|
|
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 23]
